数学 - Python - 解析学 - 級数 - 絶対収束と交代級数の収束 - 正弦、累乗倍、収束、連続、微分可能

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、5(絶対収束と交代級数の収束)の練習問題10を求めてみる。

10. 
    
    $\begin{array}{l}\left|\frac{\sin n^{2}x}{n^2}\right|\\ \le \frac{1}{n^2}\end{array}$

    また、

    $\sum \frac{1}{n^2}$

    は収束するので、

    $\sum \left|\frac{\sin n^{2}x}{n^2}\right|$

    は収束するから問題の無限級数は絶対収束する。

    $\begin{array}{l}\underset{h\to 0}{\lim }\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)\\ =\underset{h\to 0}{\lim }\left(\sum \frac{\sin \left(n^2\left(x+h\right)\right)}{n^2}-\sum \frac{\sin \left(n^{2}x\right)}{n^2}\right)\\ =\underset{h\to 0}{\lim }\left(\sum \frac{\left(\sin \left(n^{2}x\right)\cos \left(n^{2}h\right)+\cos \left(n^{2}x\right)\sin \left(n^{2}h\right)\right)}{n^2}-\sum \frac{\sin \left(n^{2}x\right)}{n^2}\right)\\ =\sum \frac{\sin \left(n^{2}x\right)}{n^2}-\sum \frac{\sin \left(n^{2}x\right)}{n^2}\\ =0\end{array}$

    よって f は連続。

    $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)\\ =\sum \frac{\sin \left(n^{2}x\right)}{n^2}\\ =\sum \frac{\cos \left(n^{2}x\right)n^2}{n^2}\\ =\sum \cos \left(n^{2}x\right)\end{array}$

    よって、 f は微分可能。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, sin, Derivative
import matplotlib.pyplot as plt

print('9.')

n, x = symbols('n, x')
f = sin(n ** 2 * x) / n ** 2
s = summation(f, (n, 1, oo))
d = Derivative(s, x, 1)
for o in [s, d.doit()]:
    pprint(o)
    print()

fs = [summation(f, (n, 1, m)) for m in range(1, 11)]

p = plot(*fs,
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save('sample10.png')


# def g(m):
#     return sum([f.subs({n: k}) for k in range(1, m)])


# ms = range(1, 101)
# plt.plot(ms, [g(m) for m in ms])
# plt.legend(['Σ (-1)^(n + 1) / log(n + 2)',
#             '(-1)^(n + 1) / log(n + 2)'])
# plt.savefig('sample10.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample10.py
9.
  ∞            
_____          
╲              
 ╲       ⎛ 2  ⎞
  ╲   sin⎝n ⋅x⎠
   ╲  ─────────
   ╱       2   
  ╱       n    
 ╱             
╱              
‾‾‾‾‾          
n = 1          

  ∞            
 ___           
 ╲             
  ╲      ⎛ 2  ⎞
  ╱   cos⎝n ⋅x⎠
 ╱             
 ‾‾‾           
n = 1          

(sin(x), red)

⎛         sin(4⋅x)       ⎞
⎜sin(x) + ────────, green⎟
⎝            4           ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)      ⎞
⎜sin(x) + ──────── + ────────, blue⎟
⎝            4          9          ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)       ⎞
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ─────────, brown⎟
⎝            4          9           16          ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)   sin(25⋅x)        ⎞
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ───────── + ─────────, orange⎟
⎝            4          9           16          25           ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)   sin(25⋅x)   sin(36⋅x)        ⎞
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ───────── + ───────── + ─────────, purple⎟
⎝            4          9           16          25          36           ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)   sin(25⋅x)   sin(36⋅x)   sin(49⋅x) 
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ───────── + ───────── + ───────── + ─────────,
⎝            4          9           16          25          36          49    

     ⎞
 pink⎟
     ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)   sin(25⋅x)   sin(36⋅x)   sin(49⋅x) 
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ───────── + ───────── + ───────── + ───────── 
⎝            4          9           16          25          36          49    

  sin(64⋅x)      ⎞
+ ─────────, gray⎟
      64         ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)   sin(25⋅x)   sin(36⋅x)   sin(49⋅x) 
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ───────── + ───────── + ───────── + ───────── 
⎝            4          9           16          25          36          49    

  sin(64⋅x)   sin(81⋅x)         ⎞
+ ───────── + ─────────, skyblue⎟
      64          81            ⎠

⎛         sin(4⋅x)   sin(9⋅x)   sin(16⋅x)   sin(25⋅x)   sin(36⋅x)   sin(49⋅x) 
⎜sin(x) + ──────── + ──────── + ───────── + ───────── + ───────── + ───────── 
⎝            4          9           16          25          36          49    

  sin(64⋅x)   sin(81⋅x)   sin(100⋅x)        ⎞
+ ───────── + ───────── + ──────────, yellow⎟
      64          81         100            ⎠


c:\Users\...>