学習環境
- Surface、Surface ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題4を求めてみる。
よって、 収束半径は1。
コード
Python 3
#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot
print('4.')
n, m, x = symbols('n, m, x')
an = n / (n + 5)
f = summation(an * x ** n, (n, 1, m))
s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)
for o in [s, s.doit(), 1 / s.doit()]:
pprint(o)
print()
ms = range(1, 12)
fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]
p = plot(*fs,
(x, -5, 5),
ylim=(-5, 5),
legend=False,
show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']
for s, color in zip(p, colors):
s.line_color = color
for o in zip(fs, colors):
pprint(o)
print()
p.show()
p.save('sample4.png')
入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))
$ ./sample4.py
4.
_________
╱ │ n │
lim n ╱ │─────│
n─→∞╲╱ │n + 5│
1
1
⎛⎧ ⎛ 4 3 2
⎜⎪ ⎜3⋅x + 5⋅x + 10⋅x + 30⋅x - 60 30
⎜⎪ 2 ⎛ 35⋅Φ(x, 1, 7) 7 ⎞ x⋅⎜─────────────────────────────── + ──
⎜⎪ 2⋅x ⋅⎜- ───────────── - ───────⎟ ⎜ 6 5
⎜⎪ ⎝ 2 2⋅x - 2⎠ ⎝ 2⋅x - 2⋅x
⎜⎪- ──────────────────────────────── + ───────────────────────────────────────
⎜⎪ 7 6
⎜⎪
⎜⎪ 1
⎜⎨ ____
⎜⎪ ╲
⎜⎪ ╲ n
⎜⎪ ╲ n⋅x
⎜⎪ ╱ ─────
⎜⎪ ╱ n + 5
⎜⎪ ╱
⎜⎪ ‾‾‾‾
⎜⎪ n = 1
⎝⎩
⎞ ⎞
⋅log(1 - x)⎟ ⎟
───────────⎟ ⎟
6 ⎟ ⎟
x ⎠ ⎟
──────────── for │x│ < 1 ⎟
⎟
⎟
⎟
, red⎟
⎟
⎟
⎟
otherwise ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛⎧ ⎛ 4 3 2
⎜⎪ ⎜3⋅x + 5⋅x + 10⋅x + 30⋅x - 60 30
⎜⎪ 3 ⎛ 40⋅Φ(x, 1, 8) 8 ⎞ x⋅⎜─────────────────────────────── + ──
⎜⎪ 3⋅x ⋅⎜- ───────────── - ───────⎟ ⎜ 6 5
⎜⎪ ⎝ 3 3⋅x - 3⎠ ⎝ 2⋅x - 2⋅x
⎜⎪- ──────────────────────────────── + ───────────────────────────────────────
⎜⎪ 8 6
⎜⎪
⎜⎪ 2
⎜⎨ ____
⎜⎪ ╲
⎜⎪ ╲ n
⎜⎪ ╲ n⋅x
⎜⎪ ╱ ─────
⎜⎪ ╱ n + 5
⎜⎪ ╱
⎜⎪ ‾‾‾‾
⎜⎪ n = 1
⎝⎩
⎞ ⎞
⋅log(1 - x)⎟ ⎟
───────────⎟ ⎟
6 ⎟ ⎟
x ⎠ ⎟
──────────── for │x│ < 1 ⎟
⎟
⎟
⎟
, green⎟
⎟
⎟
⎟
otherwise ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛⎧ ⎛ 4 3 2
⎜⎪ ⎜3⋅x + 5⋅x + 10⋅x + 30⋅x - 60 30
⎜⎪ 4 ⎛ 45⋅Φ(x, 1, 9) 9 ⎞ x⋅⎜─────────────────────────────── + ──
⎜⎪ 4⋅x ⋅⎜- ───────────── - ───────⎟ ⎜ 6 5
⎜⎪ ⎝ 4 4⋅x - 4⎠ ⎝ 2⋅x - 2⋅x
⎜⎪- ──────────────────────────────── + ───────────────────────────────────────
⎜⎪ 9 6
⎜⎪
⎜⎪ 3
⎜⎨ ____
⎜⎪ ╲
⎜⎪ ╲ n
⎜⎪ ╲ n⋅x
⎜⎪ ╱ ─────
⎜⎪ ╱ n + 5
⎜⎪ ╱
⎜⎪ ‾‾‾‾
⎜⎪ n = 1
⎝⎩
⎞ ⎞
⋅log(1 - x)⎟ ⎟
───────────⎟ ⎟
6 ⎟ ⎟
x ⎠ ⎟
──────────── for │x│ < 1 ⎟
⎟
⎟
⎟
, blue⎟
⎟
⎟
⎟
otherwise ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛⎧ ⎛ 4 3 2
⎜⎪ ⎜3⋅x + 5⋅x + 10⋅x + 30⋅x - 60 30⋅l
⎜⎪ 5 ⎛ 10 ⎞ x⋅⎜─────────────────────────────── + ────
⎜⎪ x ⋅⎜-10⋅Φ(x, 1, 10) - ───────⎟ ⎜ 6 5
⎜⎪ ⎝ 5⋅x - 5⎠ ⎝ 2⋅x - 2⋅x
⎜⎪- ────────────────────────────── + ─────────────────────────────────────────
⎜⎪ 2 6
⎜⎪
⎜⎪ 4
⎜⎨ ____
⎜⎪ ╲
⎜⎪ ╲ n
⎜⎪ ╲ n⋅x
⎜⎪ ╱ ─────
⎜⎪ ╱ n + 5
⎜⎪ ╱
⎜⎪ ‾‾‾‾
⎜⎪ n = 1
⎝⎩
⎞ ⎞
og(1 - x)⎟ ⎟
─────────⎟ ⎟
6 ⎟ ⎟
x ⎠ ⎟
────────── for │x│ < 1 ⎟
⎟
⎟
⎟
, brown⎟
⎟
⎟
⎟
otherwise ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛⎧ ⎛ 4 3 2
⎜⎪ ⎜3⋅x + 5⋅x + 10⋅x + 30⋅x - 60 3
⎜⎪ 6 ⎛ 55⋅Φ(x, 1, 11) 11 ⎞ x⋅⎜─────────────────────────────── + ─
⎜⎪ 6⋅x ⋅⎜- ────────────── - ───────⎟ ⎜ 6 5
⎜⎪ ⎝ 6 6⋅x - 6⎠ ⎝ 2⋅x - 2⋅x
⎜⎪- ───────────────────────────────── + ──────────────────────────────────────
⎜⎪ 11 6
⎜⎪
⎜⎪ 5
⎜⎨ ____
⎜⎪ ╲
⎜⎪ ╲ n
⎜⎪ ╲ n⋅x
⎜⎪ ╱ ─────
⎜⎪ ╱ n + 5
⎜⎪ ╱
⎜⎪ ‾‾‾‾
⎜⎪ n = 1
⎝⎩
⎞ ⎞
0⋅log(1 - x)⎟ ⎟
────────────⎟ ⎟
6 ⎟ ⎟
x ⎠ ⎟
───────────── for │x│ < 1 ⎟
⎟
⎟
⎟
, orange⎟
⎟
⎟
⎟
otherwise ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛⎧ ⎛ 4 3 2
⎜⎪ ⎜3⋅x + 5⋅x + 10⋅x + 30⋅x - 60 3
⎜⎪ 7 ⎛ 60⋅Φ(x, 1, 12) 12 ⎞ x⋅⎜─────────────────────────────── + ─
⎜⎪ 7⋅x ⋅⎜- ────────────── - ───────⎟ ⎜ 6 5
⎜⎪ ⎝ 7 7⋅x - 7⎠ ⎝ 2⋅x - 2⋅x
⎜⎪- ───────────────────────────────── + ──────────────────────────────────────
⎜⎪ 12 6
⎜⎪
⎜⎪ 6
⎜⎨ ____
⎜⎪ ╲
⎜⎪ ╲ n
⎜⎪ ╲ n⋅x
⎜⎪ ╱ ─────
⎜⎪ ╱ n + 5
⎜⎪ ╱
⎜⎪ ‾‾‾‾
⎜⎪ n = 1
⎝⎩
⎞ ⎞
0⋅log(1 - x)⎟ ⎟
────────────⎟ ⎟
6 ⎟ ⎟
x ⎠ ⎟
───────────── for │x│ < 1 ⎟
⎟
⎟
⎟
, purple⎟
⎟
⎟
⎟
otherwise ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛⎧ ⎛ 4 3 2
⎜⎪ ⎜3⋅x + 5⋅x + 10⋅x + 30⋅x - 60 3
⎜⎪ 8 ⎛ 65⋅Φ(x, 1, 13) 13 ⎞ x⋅⎜─────────────────────────────── + ─
⎜⎪ 8⋅x ⋅⎜- ────────────── - ───────⎟ ⎜ 6 5
⎜⎪ ⎝ 8 8⋅x - 8⎠ ⎝ 2⋅x - 2⋅x
⎜⎪- ───────────────────────────────── + ──────────────────────────────────────
⎜⎪ 13 6
⎜⎪
⎜⎪ 7
⎜⎨ ____
⎜⎪ ╲
⎜⎪ ╲ n
⎜⎪ ╲ n⋅x
⎜⎪ ╱ ─────
⎜⎪ ╱ n + 5
⎜⎪ ╱
⎜⎪ ‾‾‾‾
⎜⎪ n = 1
⎝⎩
⎞ ⎞
0⋅log(1 - x)⎟ ⎟
────────────⎟ ⎟
6 ⎟ ⎟
x ⎠ ⎟
───────────── for │x│ < 1 ⎟
⎟
⎟
⎟
, pink⎟
⎟
⎟
⎟
otherwise ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛⎧ ⎛ 4 3 2
⎜⎪ ⎜3⋅x + 5⋅x + 10⋅x + 30⋅x - 60 3
⎜⎪ 9 ⎛ 70⋅Φ(x, 1, 14) 14 ⎞ x⋅⎜─────────────────────────────── + ─
⎜⎪ 9⋅x ⋅⎜- ────────────── - ───────⎟ ⎜ 6 5
⎜⎪ ⎝ 9 9⋅x - 9⎠ ⎝ 2⋅x - 2⋅x
⎜⎪- ───────────────────────────────── + ──────────────────────────────────────
⎜⎪ 14 6
⎜⎪
⎜⎪ 8
⎜⎨ ____
⎜⎪ ╲
⎜⎪ ╲ n
⎜⎪ ╲ n⋅x
⎜⎪ ╱ ─────
⎜⎪ ╱ n + 5
⎜⎪ ╱
⎜⎪ ‾‾‾‾
⎜⎪ n = 1
⎝⎩
⎞ ⎞
0⋅log(1 - x)⎟ ⎟
────────────⎟ ⎟
6 ⎟ ⎟
x ⎠ ⎟
───────────── for │x│ < 1 ⎟
⎟
⎟
⎟
, gray⎟
⎟
⎟
⎟
otherwise ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛⎧ ⎛ 4 3 2
⎜⎪ ⎜3⋅x + 5⋅x + 10⋅x + 30⋅x - 60
⎜⎪ 10 ⎛ 15⋅Φ(x, 1, 15) 15 ⎞ x⋅⎜───────────────────────────────
⎜⎪ 2⋅x ⋅⎜- ────────────── - ─────────⎟ ⎜ 6 5
⎜⎪ ⎝ 2 10⋅x - 10⎠ ⎝ 2⋅x - 2⋅x
⎜⎪- ──────────────────────────────────── + ───────────────────────────────────
⎜⎪ 3 6
⎜⎪
⎜⎪ 9
⎜⎨ ____
⎜⎪ ╲
⎜⎪ ╲ n
⎜⎪ ╲ n⋅x
⎜⎪ ╱ ─────
⎜⎪ ╱ n + 5
⎜⎪ ╱
⎜⎪ ‾‾‾‾
⎜⎪ n = 1
⎝⎩
⎞ ⎞
30⋅log(1 - x)⎟ ⎟
+ ─────────────⎟ ⎟
6 ⎟ ⎟
x ⎠ ⎟
──────────────── for │x│ < 1 ⎟
⎟
⎟
⎟
, skyblue⎟
⎟
⎟
⎟
otherwise ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛⎧ ⎛ 4 3 2
⎜⎪ ⎜3⋅x + 5⋅x + 10⋅x + 30⋅x - 60
⎜⎪ 11 ⎛ 80⋅Φ(x, 1, 16) 16 ⎞ x⋅⎜───────────────────────────────
⎜⎪ 11⋅x ⋅⎜- ────────────── - ─────────⎟ ⎜ 6 5
⎜⎪ ⎝ 11 11⋅x - 11⎠ ⎝ 2⋅x - 2⋅x
⎜⎪- ───────────────────────────────────── + ──────────────────────────────────
⎜⎪ 16 6
⎜⎪
⎜⎪ 10
⎜⎨ ____
⎜⎪ ╲
⎜⎪ ╲ n
⎜⎪ ╲ n⋅x
⎜⎪ ╱ ─────
⎜⎪ ╱ n + 5
⎜⎪ ╱
⎜⎪ ‾‾‾‾
⎜⎪ n = 1
⎝⎩
⎞ ⎞
30⋅log(1 - x)⎟ ⎟
+ ─────────────⎟ ⎟
6 ⎟ ⎟
x ⎠ ⎟
───────────────── for │x│ < 1 ⎟
⎟
⎟
⎟
, yellow⎟
⎟
⎟
⎟
otherwise ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
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