数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数 - 角、最大値、正接の加法定理

解析入門(上)
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学習環境

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  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.3(三角関数)、問題11の解答を求めてみる。

11. 
    
    $\begin{array}{l}\angle APO=\alpha \\ \angle BPO=\beta \end{array}$

    とおく。 このとき

    $\begin{array}{l}\tan \alpha =\frac{a}{x}\\ \tan \beta =\frac{b}{x}\\ \tan \theta \\ =\tan \left(\alpha -\beta \right)\\ =\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }\\ =\frac{\frac{a}{x}-\frac{b}{x}}{1+\frac{a}{x}·\frac{b}{x}}\\ =\frac{a-b}{x+\frac{ab}{x}}\end{array}$

    分母が最小のとき角の大きさは最大になる。

    $\begin{array}{l}f\left(x\right)=x+\frac{ab}{x}\\ f\text{'}\left(x\right)=1+\frac{-ab}{x^2}\\ f\text{'}\left(\sqrt{ab}\right)=0\end{array}$

    よって、 問題の角が最大になるのは

    $x=\sqrt{ab}$

    のとき。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, sqrt, Rational, plot

print('11.')

x = symbols('x')
a, b = 2, 1
f = (a - b) / (x + a * b / x)
g = x + a * b / x
p = plot(f, g,
         (x, 0.1, 5),
         ylim=(0.1, 5),
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample11.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample11.py
11.

C:\Users\...>