数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数 - 双曲線関数、加法定理、指数関数、ネイピア数(オイラー数)、導関数

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題14の解答を求めてみる。

14. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{l}{\cosh }^{2}x-{\sinh }^{2}x\\ ={\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)}^2\\ =\frac{4e^x{e}^{-x}}{2^2}\\ =1\end{array}$
    2. 
       
       $\begin{array}{l}1-{\tanh }^{2}x\\ =1-{\left(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\right)}^2\\ =\frac{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^2-{\left(e^x-e^{-x}\right)}^2}{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^2}\\ =\frac{2^2}{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^2}\\ =\frac{1}{{\cosh }^{2}x}\end{array}$
    3. 
       
       $\begin{array}{l}\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\ =\frac{e^x-e^{-x}}{2}·\frac{e^y+e^{-y}}{2}+\frac{e^x+e^{-x}}{2}·\frac{e^y-e^{-y}}{2}\\ =\frac{2e^{x+y}-2e^{-\left(x+y\right)}}{2^2}\\ =\frac{e^{x+y}-e^{-\left(x+y\right)}}{2}\\ =\sinh \left(x+y\right)\end{array}$
    4. 
       
       $\begin{array}{l}\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\ =\frac{e^x+e^{-x}}{2}·\frac{e^y+e^{-y}}{2}+\frac{e^x-e^{-x}}{2}·\frac{e^y-e^{-y}}{2}\\ =\frac{2e^{x+y}+2e^{-\left(x+y\right)}}{2^2}\\ =\frac{e^{x+y}+e^{-\left(x+y\right)}}{2}\\ =\cosh \left(x+y\right)\end{array}$
    5. 
       
       $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\sinh x\\ =\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ =\cosh x\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\cosh x\\ =\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ =\sinh x\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\tanh x\\ =\frac{\left(e^x+e^{-x}\right)\left(e^x+e^{-x}\right)-\left(e^x-e^{-x}\right)\left(e^x-e^{-x}\right)}{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^2}\\ =\frac{4}{{\left(e^x+e^{-x}\right)}^2}\\ ={\left(\frac{2}{e^x+e^{-x}}\right)}^2\\ =\frac{1}{{\cosh }^{2}x}\end{array}$