数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数 - 正弦と余弦、対数関数、微分、帰納法

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題5の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} f' (x) = - a \cdot \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} \\ = \frac{1}{x} (- a \cdot \sin (\log x) + b \cos (\log x)) \\ f'' (x) = \frac{- a \cdot \cos (\log x) - b \sin (\log x) + a \cdot \sin (\log x) - b \cos (\log x)}{x^{2}} \\ = - \frac{1}{x^{2}} (b \sin (\log x) + a \cdot \cos (\log x) - a \cdot \sin (\log x) + b \cos (\log x)) \end{array}$
  よって、
  $\begin{array}{l} x^{2} f'' (x) + x f' (x) + f (x) \\ = - b \sin (\log x) - a \cdot \cos (\log x) + a \cdot \sin (\log x) - b \cos (\log x) \\ - a \cdot \sin (\log x) + b \cos (\log x) \\ + a \cdot \cos (\log x) + b \sin ((o g x) \\ = 0 \end{array}$
2. $\begin{array}{l} f^{(n)} (x) \\ = \frac{d}{dx} f^{(n - 1)} (x) \\ = \frac{d}{dx} (\frac{1}{x^{n - 1}} (a_{n - 1} \cos (\log x) + b_{n - 1} \sin (\log x))) \\ = \frac{(- a_{n - 1} \sin (\log x) \frac{1}{x} + b_{n - 1} \cos (\log x) \frac{1}{x}) x^{n - 1}}{x^{2 (n - 1)}} \\ - \frac{(a_{n - 1} \cos (\log x) + b_{n - 1} \sin (\log x)) (n - 1) x^{n - 2}}{x^{2 (n - 1)}} \\ = \frac{1}{x^{n}} ((- a_{n - 1} + b_{n - 1}) \cos (\log x) + (- a_{n - 1} - b_{n - 1}) \sin (\log x)) \\ x^{n} f^{(n)} (x) = (- a_{n - 1} + b_{n - 1}) \cos (\log x) + (- a_{n - 1} - b_{n - 1}) \sin (\log x) \end{array}$
  よって帰納法により成り立つ。
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, sin, cos, log, Derivative, plot print('5.') print('(a)') x, a, b = symbols('x, a, b') f = a * cos(log(x)) + b * sin(log(x)) d1 = Derivative(f, x, 1).doit() d2 = Derivative(f, x, 2).doit() eq = x ** 2 * d2 + x * d1 + f for o in [eq, eq.expand()]: pprint(o) print() print('(b)') n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True) for n in range(5): g = x ** n * Derivative(f, x, n) for o in [g, g.doit()]: pprint(o) print() p = plot(*[Derivative(f.subs({a: 2, b: 3}), x, n).doit() for n in range(5)], (x, 0.1, 10.1), ylim=(-5, 5), show=False, legend=True) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample5.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample5.py 5. (a) ⎛ a⋅sin(log(x)) b⋅cos(log(x))⎞ a⋅sin(log(x)) - b⋅cos(log(x)) + x⋅⎜- ───────────── + ─────────────⎟ ⎝ x x ⎠ 0 (b) a⋅cos(log(x)) + b⋅sin(log(x)) a⋅cos(log(x)) + b⋅sin(log(x)) ∂ x⋅──(a⋅cos(log(x)) + b⋅sin(log(x))) ∂x ⎛ a⋅sin(log(x)) b⋅cos(log(x))⎞ x⋅⎜- ───────────── + ─────────────⎟ ⎝ x x ⎠ 2 2 ∂ x ⋅───(a⋅cos(log(x)) + b⋅sin(log(x))) 2 ∂x a⋅sin(log(x)) - a⋅cos(log(x)) - b⋅sin(log(x)) - b⋅cos(log(x)) 3 3 ∂ x ⋅───(a⋅cos(log(x)) + b⋅sin(log(x))) 3 ∂x -a⋅sin(log(x)) + 3⋅a⋅cos(log(x)) + 3⋅b⋅sin(log(x)) + b⋅cos(log(x)) 4 4 ∂ x ⋅───(a⋅cos(log(x)) + b⋅sin(log(x))) 4 ∂x -10⋅a⋅cos(log(x)) - 10⋅b⋅sin(log(x)) C:\Users\...>

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2019年9月16日月曜日

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