数学 - Python - 解析学 - 各種の初等関数 - 三角関数(続き)、逆三角関数 - 正弦と余弦、不等式の証明、微分、増減

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.4(三角関数(続き)、逆三角関数)、問題9の解答を求めてみる。

9. 
   
   $\begin{array}{l}f\left(x\right)=\sin x-\left(x-\frac{x^3}{3!}\right)\\ f\text{'}\left(x\right)=\cos x-1+\frac{x^2}{2}\\ f^{\left(2\right)}\left(x\right)=-\sin x+x\\ f^{\left(3\right)}\left(x\right)=-\cos x+1\ge 0\\ f^{\left(2\right)}\left(0\right)=0\\ f^{\left(2\right)}\left(x\right)\ge 0\\ f\text{'}\left(0\right)=0\\ f\text{'}\left(x\right)\ge 0\\ f\left(0\right)=0\\ f\left(x\right)\ge 0\\ 0<x<1\\ f^{\left(3\right)}\left(x\right)>0\\ f^{\left(2\right)}\left(x\right)>0\\ f\text{'}\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)>0\\ x>0\\ f\left(x\right)>0\end{array}$

   ゆえに、

   $x-\frac{x^3}{3!}<\sin x$

   また、

   $\begin{array}{l}f\left(x\right)=x-\sin x\\ f\text{'}\left(x\right)=1-\cos x\ge 0\\ f\left(0\right)=0\\ 0<x<1\\ f\text{'}\left(x\right)>0\\ x>0\\ f\left(x\right)>0\end{array}$

   よって、

   $\sin x<x$

   ゆえに、

   $x-\frac{x^3}{3!}<\sin x<x$

   もう1つ の不等式について。

   $\begin{array}{l}f\left(x\right)=\cos x-\left(1-\frac{x^2}{2!}\right)\\ f\text{'}\left(x\right)=-\sin x+x\\ f^{\left(2\right)}\left(x\right)=-\cos x+1\ge 0\\ f\text{'}\left(0\right)=0\\ f\text{'}\left(x\right)\ge 0\\ 0<x<1\\ f^{\left(2\right)}\left(x\right)>0\\ f\text{'}\left(x\right)>0\\ f\left(0\right)=0\\ f\left(x\right)>0\\ x>0\\ 1-\frac{x^2}{2!}<\cos x\le 1\end{array}$

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, sin, cos, factorial, plot

print('9.')

x = symbols('x')
fs = [x - x ** 3 / factorial(3),
      sin(x),
      x,
      1 - x ** 2 / factorial(2),
      cos(x),
      1]

p = plot(*fs,
         (x, 0, 5),
         ylim=(-2.5, 2.5),
         show=False,
         legend=True)

colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save(f'sample9')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

C:\Users\...>py sample9.py
9.

C:\Users\...>