数学 - 解析学 - 関数の近似、テイラーの定理 - 極限の計算 - 不定形の極限、ロピタルの定理

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第6章(関数の近似、テイラーの定理)、6.2(極限の計算)、問題1の解答を求めてみる。

1. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)\\ =\underset{y\to +0}{\lim }\frac{\left(e^y-1\right)}{y}\\ \frac{d}{\mathrm{dy}}\left(e^y-1\right)=e^y\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dy}}=1\\ \underset{y\to +0}{\lim }\frac{e^y}{1}=1\\ \underset{y\to +0}{\lim }\left(e^y-1\right)=0\\ \underset{y\to +0}{\lim }y=0\end{array}$

      よって、 ロピタルの定理より

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)=1$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}\log x^{\frac{1}{x}}\\ =\frac{1}{x}\log x\\ \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x}\log x\\ =\underset{y\to +0}{\lim }\frac{\log y^{-1}}{\frac{1}{y}}\\ =-\underset{y\to +0}{\lim }\frac{\log y}{\frac{1}{y}}\\ \underset{y\to +0}{\lim }\frac{1}{y}=\infty \\ \frac{d}{\mathrm{dy}}\log y=\frac{1}{y}\\ \frac{d}{\mathrm{dy}}\frac{1}{y}=\frac{-1}{y^2}\\ \underset{y\to +0}{\lim }\frac{\frac{1}{y}}{-\frac{1}{y^2}}=0\end{array}$

      よってロピタルの定理より、

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }\log x^{\frac{1}{x}}=0$

      ゆえに、

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^{\frac{1}{x}}=1$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\lim }\left(a^x-b^x\right)=0\\ \underset{x\to 0}{\lim }x=0\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\left(a^x-b^x\right)\\ =a^x\log a-b^x\log b\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}x=1\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x\log a-b^x\log b}{1}\\ =\log a-\log b\\ =\log \frac{a}{b}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{a^x-b^x}{x}=\log \frac{a}{b}\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{l}\underset{x\to 0}{\lim }\left(x-\arcsin x\right)=0\\ \underset{x\to 0}{\lim }{x}^3=0\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\left(x-\arcsin x\right)=1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}{x}^3=3x^2\\ \underset{x\to 0}{\lim }\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)=0\\ \underset{x\to 0}{\lim }3x^2=0\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)\\ =-\frac{x}{\left(1-x^2\right)\sqrt{1-x^2}}\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}3x^2=6x\\ \underset{x\to 0}{\lim }\left(-\frac{x}{\left(1-x^2\right)\sqrt{1-x^2}}\right)=0\\ \underset{x\to 0}{\lim }6x=0\\ \underset{x\to 0}{\lim }\left(-\frac{x}{{\left(1-x\right)}^2\sqrt{1-x^2}}\right)·\frac{1}{6x}=-\frac{1}{6}\\ \underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\arcsin x}{x^3}=-\frac{1}{6}\end{array}$
   5. 
      
      $\begin{array}{l}\tan x-\frac{1}{\cos x}\\ =\frac{\sin x-1}{\cos x}\\ \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\left(\sin x-1\right)=0\\ \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\cos x=0\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\left(\sin x-1\right)=\cos x\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\cos x=-\sin x\\ \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\cos x}{-\sin x}\\ =\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\left(-\frac{1}{\tan x}\right)\\ =0\\ \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\left(\tan x-\frac{1}{\cos x}\right)=0\end{array}$
   6. 
      
      $\begin{array}{l}\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }x\sin x-\frac{\pi }{2}=0\\ \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\cos x=0\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\left(x\sin x-\frac{\pi }{2}\right)=\sin x-x\cos x\\ \frac{d}{\mathrm{dx}}\cos x=-\sin x\\ \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{\sin x-x\cos x}{-\sin x}=-1\\ \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{\lim }\frac{x\sin x-\frac{\pi }{2}}{\cos x}=-1\end{array}$