数学 - 解析学 - 各種の初等関数 - 複素数の幾何学的表現 - 複素平面上の異なる3点が三角形の調停を成すための必要十分条件

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第5章(各種の初等関数)、5.5(複素数の幾何学的表現)、問題3の解答を求めてみる。

3. 
   

   問題の複素平面上の異なる3点が正三角形の頂点をなすためには、2つの三角形

   $\Delta \alpha \beta \gamma ,\Delta \beta \gamma \alpha$

   が同じ向きに相似であればいいので、

   $\frac{\alpha -\gamma }{\alpha -\beta }=\frac{\beta -\alpha }{\beta -\gamma }$

   が必要十分条件である。

   よって、

   $\begin{array}{l}\left(\alpha -\gamma \right)\left(\beta -\gamma \right)=\left(\beta -\alpha \right)\left(\alpha -\beta \right)\\ \sigma \beta -\gamma \alpha -\beta \gamma +{\gamma }^2=-\left({\alpha }^2-2\alpha \beta +{\beta }^2\right)\\ {\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma x\end{array}$

   が必要十分条件である。

   （証明終）