数学 - 解析学 - “ε-δ”その他 - 複素数 - 定義 - 虚部、絶対値、不等式

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、第16章(複素数)、1(定義)の練習問題6を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{l}\alpha -\stackrel{-}{\alpha }\\ =\left(a+bi\right)-\left(a-bi\right)\\ =2bi\\ =2i\mathrm{Im}\left(\alpha \right)\\ \mathrm{Im}\left(\alpha \right)=b\\ \left|\mathrm{Im}\left(\alpha \right)\right|=\left|b\right|\\ \left|\alpha \right|=\sqrt{a^2+b^2}\ge \sqrt{b^2}=\left|b\right|\end{array}$

   よって、

   $\mathrm{Im}\left(\alpha \right)\le \left|\mathrm{Im}\left(\alpha \right)\right|\le \left|\alpha \right|$