数学 - 線形代数学 - 群 - 群の簡単な性質 - 自己同形の集合、Aut(G)

ラング線形代数学(下)
原著
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(群の簡単な性質)、練習問題9の解答を求めてみる。

9. 
   

   f 、 g 、 h を 任意の自己同形とする。

   $f\circ g$

   は自己同形。

   $\left(f\circ g\right)\circ h=f\circ \left(g\circ h\right)$

   よって結合律が成り立つ。

   $f\circ I_G=I_G\circ f=f$

   よって単位元は

   $I_G$

   また、

   $f\circ f^{·1}=f^{-1}\circ f=I_G$

   よって逆元が存在する。

   ゆえに、群 G の 自己同形の集合はそれ自身群である。

   （証明終）