学習環境
- Surface、Surface ペン(端末)
- Windows 10 Pro (OS)
- Nebo(Windows アプリ)
- iPad Pro 10.5 + Apple Pencil
- MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
- 参考書籍
ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(群の簡単な性質)、練習問題4の解答を求めてみる。
(σ(a,b)∘σ(c,d))(x)=a(cx+d)+b=acx+(ad+b)よって、 写像の合成について閉じている。
(σ(a,b)∘(σ(c,d)∘σ(e,f)))(x)=σ(a,b)(c(ex+f)+d)=a(c(ex+f)+d)+b=acex+acf+ad+bまた、
((σ(a,b)∘σ(c,d))∘σ(e,f))(x)=(σ(a,b)∘σ(c,d))(ex+f)=σ(a,b)(c(ex+f)+d)=a(c(ex+f)+d)+b=acex+acf+ad+bよって、
(σ(a,b)∘(σ(c,d)∘σ(e,f)))(x)=((σ(a,b)∘σ(c,d))∘σ(e,f))(x)- 結合律 が成り立つ。
単位元は恒等写像。
(σ(a,b)∘σ(1,0))(x)=a(x+0)+b=ax+b(σ(1,0)∘σ(a,b))(x)=σ(1,0)(ax+b)=ax+bまた、任意の元、
σ(a,b)(x)に対する逆元は、
σ(1a,-ba)(x)である。
実際に、
(σ(a,b)∘σ(1a,-ba))(x)=a(1ax-ba)+b=x-b+b=x=σ(1,0)(x)(σ(1a,-ba)∘σ(a,b))(x)=1a(ax+b)-ba=x=σ(1,0)(x)よって、 G は群である。
（証明終）
- f(σ(a,b)∘σ(c,d))=ac=f(σ(a,b))f(σ(c,d))
(f は問題の対応）
よって、 f は準同形である。
核は、
{σ(1,b)∈G|b∈ℝ}実際に、
f(σ(1,0))=1（証明終）
0 コメント:
コメントを投稿