数学 - 線形代数学 - 群 - 群の簡単な性質 - 写像の集合、準同形、実数、乗法群、単位元、逆元、核

ラング線形代数学(下)
原著
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(群の簡単な性質)、練習問題4の解答を求めてみる。

4. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\left({\sigma }_{\left(a,b\right)}\circ {\sigma }_{\left(c,d\right)}\right)\left(x\right)\\ =a\left(cx+d\right)+b\\ =acx+\left(ad+b\right)\end{array}$

      よって、 写像の合成について閉じている。

      $\begin{array}{l}\left({\sigma }_{\left(a,b\right)}\circ \left({\sigma }_{\left(c,d\right)}\circ {\sigma }_{\left(e,f\right)}\right)\right)\left(x\right)\\ ={\sigma }_{\left(a,b\right)}\left(c\left(ex+f\right)+d\right)\\ =a\left(c\left(ex+f\right)+d\right)+b\\ =acex+acf+ad+b\end{array}$

      また、

      $\begin{array}{l}\left(\left({\sigma }_{\left(a,b\right)}\circ {\sigma }_{\left(c,d\right)}\right)\circ {\sigma }_{\left(e,f\right)}\right)\left(x\right)\\ =\left({\sigma }_{\left(a,b\right)}\circ {\sigma }_{\left(c,d\right)}\right)\left(ex+f\right)\\ ={\sigma }_{\left(a,b\right)}\left(c\left(ex+f\right)+d\right)\\ =a\left(c\left(ex+f\right)+d\right)+b\\ =acex+acf+ad+b\end{array}$

      よって、

      $\begin{array}{l}\left({\sigma }_{\left(a,b\right)}\circ \left({\sigma }_{\left(c,d\right)}\circ {\sigma }_{\left(e,f\right)}\right)\right)\left(x\right)\\ =\left(\left({\sigma }_{\left(a,b\right)}\circ {\sigma }_{\left(c,d\right)}\right)\circ {\sigma }_{\left(e,f\right)}\right)\left(x\right)\end{array}$

      • 結合律 が成り立つ。

      単位元は恒等写像。

      $\begin{array}{l}\left({\sigma }_{\left(a,b\right)}\circ {\sigma }_{\left(1,0\right)}\right)\left(x\right)\\ =a\left(x+0\right)+b\\ =ax+b\\ \left({\sigma }_{\left(1,0\right)}\circ {\sigma }_{\left(a,b\right)}\right)\left(x\right)\\ ={\sigma }_{\left(1,0\right)}\left(ax+b\right)\\ =ax+b\end{array}$

      また、任意の元、

      ${\sigma }_{\left(a,b\right)}\left(x\right)$

      に対する逆元は、

      ${\sigma }_{\left(\frac{1}{a},-\frac{b}{a}\right)}\left(x\right)$

      である。

      実際に、

      $\begin{array}{l}\left({\sigma }_{\left(a,b\right)}\circ {\sigma }_{\left(\frac{1}{a},-\frac{b}{a}\right)}\right)\left(x\right)\\ =a\left(\frac{1}{a}x-\frac{b}{a}\right)+b\\ =x-b+b\\ =x\\ ={\sigma }_{\left(1,0\right)}\left(x\right)\\ \left({\sigma }_{\left(\frac{1}{a},-\frac{b}{a}\right)}\circ {\sigma }_{\left(a,b\right)}\right)\left(x\right)\\ =\frac{1}{a}\left(ax+b\right)-\frac{b}{a}\\ =x\\ ={\sigma }_{\left(1,0\right)}\left(x\right)\end{array}$

      よって、 G は群である。

      （証明終）

   2. 
      
      $\begin{array}{l}f\left({\sigma }_{\left(a,b\right)}\circ {\sigma }_{\left(c,d\right)}\right)\\ =ac\\ =f\left({\sigma }_{\left(a,b\right)}\right)f\left({\sigma }_{\left(c,d\right)}\right)\end{array}$

      (f は問題の対応）

      よって、 f は準同形である。

      核は、

      $\left\{\sigma \left(1,b\right)\in G|b\in \text{ℝ}\right\}$

      実際に、

      $f\left({\sigma }_{\left(1,0\right)}\right)=1$

      （証明終）