数学 - 線形代数学 - 群 - 群の簡単な性質 - 行列の積、対角行列の群の中への準同形、核

ラング線形代数学(下)
原著
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(群の簡単な性質)、練習問題12の解答を求めてみる。

12. 
    
    $\begin{array}{l}a,b,d,e,f,h\in K\\ ad\ne 0\\ eh\ne 0\\ F:G\to K^{\times }\times K^{\times }\\ F\left(\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right]\right)=\left(a,d\right)\end{array}$

    とする。

    このとき、

    $\begin{array}{l}F\left(\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}e& f\\ 0& h\end{array}\right]\right)\\ F\left(\left[\begin{array}{cc}ae& af+bh\\ 0& dh\end{array}\right]\right)\\ =\left(ae,dh\right)\\ =\left(a,d\right)·\left(e,h\right)\\ =F\left(\left[\begin{array}{cc}a& b\\ 0& d\end{array}\right]\right)F\left(\left[\begin{array}{cc}e& f\\ 0& h\end{array}\right]\right)\end{array}$

    よって、 問題の写像は準同形である。

    （証明終）

    核について。

    $K^{\times }\times K^{\times }$

    の単位元は、

    $\left(1,1\right)$

    よって、 核は、

    $\left\{\left[\begin{array}{cc}1& b\\ 0& 1\end{array}\right]|b\in K\right\}$