数学 - Python - 解析学 - 関数の近似、テイラーの定理 - テイラーの定理 - 近似値、ニュートンの方法

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第6章(関数の近似、テイラーの定理)、6.1(テイラーの定理)、問題3の解答を求めてみる。

1. 問題の仮定が、 f は閉区間
  
  $[a, b]$
  
  で微分可能で連続である。
  
  また、
  
  $\begin{array}{l} f (a) < 0, f (b) > 0 \\ f' (x) \geq δ_{1} > 0 \end{array}$
  
  なので狭義単調増加である。
  
  このことと中間値の定理より、
  
  $\begin{array}{l} f (δ) = 0 \\ a < δ < b \end{array}$
  
  を満たす
  
  $δ$
  
  がただ1つ存在する。
  
  （証明終）
2. $\begin{array}{l} f' (b_{n}) b_{n + 1} = f' (b_{n}) b_{n} - f (b_{n}) \\ f' (b_{n}) (b_{n + 1} - b_{n}) + f (b_{n}) = 0 \end{array}$
  
  よって、問題の斬化式によって定義される数では、関数 f の
  
  $(b_{n}, f (b_{n}))$
  
  における接線と x 軸との交点の座標が
  
  $(b_{n + 1}, 0)$
  
  であるという幾何学的意味をもつ。
3. 問題の仮定
  
  $f' (x) \geq δ_{1} > 0$
  
  より、 f は凸関数である。
  
  このことと、 (b) より、
  
  $ξ < b_{n + 1} < b_{n}$
  
  よって数列は強い意味で単調減少して、収束する。また、 c に収束するとすれば
  
  $\begin{array}{l} c = c - \frac{f (c)}{f' (c)} \\ \frac{f (c)}{f' (c)} = 0 \\ f (c) = 0 \end{array}$
  
  よって、
  
  $\begin{array}{l} c = ξ \\ \lim_{n \to \infty} b_{n} = ξ \end{array}$
  
  である。
  
  （証明終）
4. テイラーの定理より、ある
  
  $ξ < c_{n} < b_{n}$
  
  が存在し、
  
  $\begin{array}{l} f (ξ) = f (b_{n}) + f' (b_{n}) (ξ - b_{n}) + \frac{f'' (c_{n})}{2} {(ξ - b_{n})}^{2} \\ 0 = f (b_{n}) - f' (b_{n}) (b_{n} - ξ) + \frac{f' (c_{n})}{2} {(b_{n} - ξ)}^{2} \end{array}$
  
  を満たす。
  
  両辺を
  
  $f' (b_{n})$
  
  で割ると、
  
  $\begin{array}{l} 0 = \frac{f (b_{n})}{f' (b_{n})} - (b_{n} - ξ) + \frac{f'' (c_{n})}{2 f' (b_{n})} {(b_{n} - ξ)}^{2} \\ b_{n} - \frac{f (b_{n})}{f' (b_{n})} - ξ = \frac{f'' (c_{n})}{2 f' (b_{n})} {(b_{n} - ξ)}^{2} \\ b_{n + 1} - ξ = \frac{f'' (c_{n})}{2 f' (b_{n})} {(b_{n} - ξ)}^{2} \end{array}$
5. 問題の仮定と(d)より、
  
  $\begin{array}{l} 0 \\ < b_{n + 1} - ξ \\ = \frac{f (c_{n})}{2 f' (b_{n})} {(b_{n} - ξ)}^{2} \\ \leq \frac{δ_{2}}{2 δ_{1}} {(b_{n} - ξ)}^{2} \\ = A {(b_{n} - ξ)}^{2} \end{array}$
  
  また、
  
  $\begin{array}{l} 0 < b_{2} - ξ \leq A {(b_{1} - ξ)}^{2} = \frac{1}{A} {(A (b_{1} - ξ))}^{2} \\ 0 < b_{n + 1} - ξ \leq A {(b_{n} - ξ)}^{2} \leq A {(\frac{1}{A} {(A (b_{1} - ξ))}^{(2 n - 1)})}^{2} \\ = \frac{1}{A} {(A (b_{1} - ξ))}^{2 n} \end{array}$
  
  よって帰納法により成り立つ。
  
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from sympy import pprint, symbols, Derivative, solve, plot, sqrt print('4.') x = symbols('x') f = x ** 2 - 2 f1 = Derivative(f, x, 1).doit() b1 = 3 def b(n): if n == 1: return b1 t = b(n - 1) return t - f.subs({x: t}) / f1.subs({x: t}) bs = [b(n0) for n0 in range(1, 11)] for i, b0 in enumerate(bs, 1): print(f'{i}: {float(b0)}') print(float(sqrt(2))) fs = [f1.subs({x: b0}) * (x - b0) + f.subs({x: b0}) for b0 in bs[:3]] p = plot(f, *fs, (x, 1, 3), ylim=(-1, 7), show=False, legend=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample4.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py 4. 1: 3.0 2: 1.8333333333333333 3: 1.4621212121212122 4: 1.4149984298948028 5: 1.4142137800471977 6: 1.4142135623731118 7: 1.4142135623730951 8: 1.4142135623730951 9: 1.4142135623730951 10: 1.4142135623730951 1.4142135623730951 %

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2019年10月24日木曜日

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