数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数の微分と積分 - 双曲線関数(双曲線余弦関数(cosh)、双曲線正弦関数(sinh))、べき級数による定義、絶対収束、項別微分

解析入門 原書第3版
原著
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス(Kobo) Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、7(べき級数の微分と積分)の練習問題2を求めてみる。

2. 
   
   $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left|\frac{1}{\left(2n\right)!}\right|}^{\frac{1}{n}}=0$

   よって収束半径は

   $\infty$

   なので、 f は絶対収束する。

   よって項別微可能。

   $\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)\\ =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n}{\left(2n\right)!}{x}^{2n-1}\\ =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n-1}}{\left(2n-1\right)!}\end{array}$

   これについても同様に項別微分可能なので、

   $\begin{array}{l}f\text{'}\text{'}\left(x\right)\\ =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{2n-2}}{\left(2n-2\right)!}\\ =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{\left(2n\right)!}\end{array}$

   よって、

   $f\left(x\right)=f\text{'}\text{'}\left(x\right)$

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, factorial, Derivative

print('2.')

x, n = symbols('x, n')
f = summation(x ** (2 * n) / factorial(2 * n), (n, 0, oo))


class MyTestCase(TestCase):
    def setUp(self):
        pass

    def tearDown(self):
        pass

    def test(self):
        self.assertEqual(Derivative(f, x, 2).doit(), f)


p = plot(f, Derivative(f, x, 1).doit(),
         (x, -10, 10),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py
2.
.
----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.001s

OK
%