数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数の微分と積分 - 累乗、階乗、等式の証明、絶対収束、項別微分、BESSELI関数

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、7(べき級数の微分と積分)の練習問題3を求めてみる。

3. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{d}{\mathrm{dx}}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{{\left(n!\right)}^2}\\ =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n}{{\left(n!\right)}^2}{x}^{2n-1}\\ \frac{d^2}{d{x}^2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{{\left(n!\right)}^2}\\ =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n\left(2n-1\right)}{{\left(n!\right)}^2}{x}^{2n-2}\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}{x}^{2}f\text{'}\text{'}\left(x\right)+xf\text{'}\left(x\right)\\ =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n\left(2n-1\right)}{{\left(n!\right)}^2}{x}^{2n}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2n}{{\left(n!\right)}^2}{x}^{2n}\\ =\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{2n\left(2n-1\right)+2n}{{\left(n!\right)}^2}\right)x^{2n}\\ =\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(2n\right)}^2}{{\left(n!\right)}^2}{x}^{2n}\\ =4x^2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n^2}{{\left(n!\right)}^2}{x}^{2\left(n-1\right)}\\ =4x^2\sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{2\left(n-1\right)}}{{\left(\left(n-1\right)!\right)}^2}\\ =4x^2\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{{\left(n!\right)}^2}\\ =4x^{2}f\left(x\right)\end{array}$

   （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, plot, factorial, Derivative

print('3.')

x, n = symbols('x, n')
f = summation(x ** (2 * n) / factorial(n) ** 2, (n, 0, oo))
f1 = Derivative(f, x, 1).doit()
f2 = Derivative(f, x, 2).doit()


class MyTestCase(TestCase):
    def setUp(self):
        pass

    def tearDown(self):
        pass

    def test(self):
        self.assertEqual((x ** 2 * f2 + x * f1).simplify(), 4 * x ** 2 * f)


p = plot(f, f1, f2,
         (x, -10, 10),
         ylim=(-10, 10),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample3.png')


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py 
3.
.
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OK
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