数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 負の数の累乗と和、係数、累乗根、収束半径、絶対値、極限、逆数

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題13を求めてみる。

13. 
    
    $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left|1+{\left(-2\right)}^n\right|}^{\frac{1}{n}}\\ =2\end{array}$

    よって、収束半径は

    $\frac{1}{2}$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot, sqrt

print('13.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = 1 + (-2) ** n
f = summation(an * x ** n, (n, 1, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s,  # s.doit(), 1 / s.doit(),
          f.subs({m: oo})]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(1, 11)
# fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]


def g(m):
    return sum([an.subs({n: m}) * x ** m for m in range(1, m)])


fs = [g(m) for m in ms]

p = plot(*fs,
         (x, -1, 1),
         ylim=(-1, 1),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample13.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample13.py
13.
       _____________
    n ╱ │    n    │ 
lim ╲╱  │(-2)  + 1│ 
n─→∞                

⎛⎧  ∞     for x = 1⎞   ⎛⎧      ∞         for 2⋅x = -1⎞
⎜⎪                 ⎟   ⎜⎪                            ⎟
⎜⎪     ∞           ⎟   ⎜⎪             ∞              ⎟
⎜⎨x - x            ⎟ + ⎜⎨-2⋅x - (-2⋅x)               ⎟
⎜⎪──────  otherwise⎟   ⎜⎪──────────────   otherwise  ⎟
⎜⎪1 - x            ⎟   ⎜⎪   2⋅x + 1                  ⎟
⎝⎩                 ⎠   ⎝⎩                            ⎠

(0, red)

(-x, green)

⎛   2          ⎞
⎝5⋅x  - x, blue⎠

⎛     3      2           ⎞
⎝- 7⋅x  + 5⋅x  - x, brown⎠

⎛    4      3      2            ⎞
⎝17⋅x  - 7⋅x  + 5⋅x  - x, orange⎠

⎛      5       4      3      2            ⎞
⎝- 31⋅x  + 17⋅x  - 7⋅x  + 5⋅x  - x, purple⎠

⎛    6       5       4      3      2          ⎞
⎝65⋅x  - 31⋅x  + 17⋅x  - 7⋅x  + 5⋅x  - x, pink⎠

⎛       7       6       5       4      3      2          ⎞
⎝- 127⋅x  + 65⋅x  - 31⋅x  + 17⋅x  - 7⋅x  + 5⋅x  - x, gray⎠

⎛     8        7       6       5       4      3      2             ⎞
⎝257⋅x  - 127⋅x  + 65⋅x  - 31⋅x  + 17⋅x  - 7⋅x  + 5⋅x  - x, skyblue⎠

⎛       9        8        7       6       5       4      3      2            ⎞
⎝- 511⋅x  + 257⋅x  - 127⋅x  + 65⋅x  - 31⋅x  + 17⋅x  - 7⋅x  + 5⋅x  - x, yellow⎠

$