数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 負の数の累乗、ゼロ乗、係数、累乗根、収束半径、絶対値、極限、逆数

学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題14を求めてみる。

$\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} {|1 + {(- 1)}^{n}|}^{\frac{1}{n}} \\ = 1 \end{array}$
よって、収束半径は1。

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot, sqrt

print('14.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = 1 + (-1) ** n
f = summation(an * x ** n, (n, 1, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s,  # s.doit(), 1 / s.doit(),
          f.subs({m: oo})]:
    pprint(o)
    print()

# ms = range(1, 11)
ms = range(1, 21, 2)
# fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]


def g(m):
    return sum([an.subs({n: m}) * x ** m for m in range(1, m)])


fs = [g(m) for m in ms]

p = plot(*fs,
         (x, -2, 2),
         ylim=(0, 4),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample14.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample14.py
14.
       _____________
    n ╱ │    n    │ 
lim ╲╱  │(-1)  + 1│ 
n─→∞                

⎛⎧    ∞       for x = -1⎞   ⎛⎧  ∞     for x = 1⎞
⎜⎪                      ⎟   ⎜⎪                 ⎟
⎜⎪         ∞            ⎟   ⎜⎪     ∞           ⎟
⎜⎨-x - (-x)             ⎟ + ⎜⎨x - x            ⎟
⎜⎪──────────  otherwise ⎟   ⎜⎪──────  otherwise⎟
⎜⎪  x + 1               ⎟   ⎜⎪1 - x            ⎟
⎝⎩                      ⎠   ⎝⎩                 ⎠

(0, red)

⎛   2       ⎞
⎝2⋅x , green⎠

⎛   4      2      ⎞
⎝2⋅x  + 2⋅x , blue⎠

⎛   6      4      2       ⎞
⎝2⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x , brown⎠

⎛   8      6      4      2        ⎞
⎝2⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x , orange⎠

⎛   10      8      6      4      2        ⎞
⎝2⋅x   + 2⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x , purple⎠

⎛   12      10      8      6      4      2      ⎞
⎝2⋅x   + 2⋅x   + 2⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x , pink⎠

⎛   14      12      10      8      6      4      2      ⎞
⎝2⋅x   + 2⋅x   + 2⋅x   + 2⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x , gray⎠

⎛   16      14      12      10      8      6      4      2         ⎞
⎝2⋅x   + 2⋅x   + 2⋅x   + 2⋅x   + 2⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x , skyblue⎠

⎛   18      16      14      12      10      8      6      4      2        ⎞
⎝2⋅x   + 2⋅x   + 2⋅x   + 2⋅x   + 2⋅x   + 2⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x  + 2⋅x , yellow⎠

$

SymPyと結果が違うから、計算間違ってるかも。

Kamimura's blog

2019年10月3日木曜日

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