数学 - Python - 解析学 - 級数 - べき級数 - 三角関数(正弦)、階乗、係数、累乗根、収束半径、絶対値、極限、逆数

解析入門 原書第3版
原著
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第4部(級数)、第15章(級数)、6(べき級数)の練習問題24を求めてみる。

24. 
    
    $\begin{array}{l}\underset{n\to \infty }{\lim }{\left|\frac{\sin \left(2\pi n\right)}{n!}\right|}^{\frac{1}{n}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }{0}^{\frac{1}{n}}\\ =\underset{n\to \infty }{\lim }0\\ =0\end{array}$

    よって、 収束半経は

    $\infty$

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, oo, Limit, plot, sin, pi

print('24.')

n, m, x = symbols('n, m, x')
an = sin(2 * pi * n)
f = summation(an * x ** n, (n, 2, m))

s = Limit(abs(an) ** (1 / n), n, oo)

for o in [s,  s.doit(), 1 / s.doit(), f.subs({m: oo})]:
    pprint(o)
    print()

ms = range(1, 11)
# fs = [f.subs({m: m0}) for m0 in ms]


def g(m):
    return sum([an.subs({n: m}) * x ** m for m in range(m)])


fs = [g(m) for m in ms]

p = plot(*fs,
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=False,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

for o in zip(fs, colors):
    pprint(o)
    print()

p.show()
p.save('sample24.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample24.py 
24.
    n ______________
lim ╲╱ │sin(2⋅π⋅n)│ 
n─→∞                

1

1

  ∞                
 ___               
 ╲                 
  ╲    n           
  ╱   x ⋅sin(2⋅π⋅n)
 ╱                 
 ‾‾‾               
n = 2              

(0, red)

(0, green)

(0, blue)

(0, brown)

(0, orange)

(0, purple)

(0, pink)

(0, gray)

(0, skyblue)

(0, yellow)

%