数学 - Python - 線形代数学 - 群 - 群の簡単な性質 - 可逆行列、上三角行列、積、部分群、単位元、逆元、準同形、核、体、同形

ラング線形代数学(下)
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(群の簡単な性質)、練習問題13の解答を求めてみる。

13. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{l}\left[\begin{array}{ccc}1& a_{12}& a_{13}\\ 0& 1& a_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& b_{12}& b_{13}\\ 0& 1& b_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}1& b_{12}+a_{12}& b_{13}+a_{12}{b}_{23}+a_{13}\\ 0& 1& b_{23}+a_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

       よって、 積について 閉じている。

       $\begin{array}{l}\left[\begin{array}{ccc}1& a_{12}& a_{13}\\ 0& 1& a_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}& c_{12}& c_{13}\\ c_{21}& c_{22}& c_{23}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}{c}_{11}+a_{12}{c}_{21}+a_{13}{c}_{31}& c_{12}+a_{12}{c}_{22}+a_{13}{c}_{32}& c_{13}+a_{12}{c}_{23}+a_{13}{c}_{33}\\ c_{21}+a_{23}{c}_{31}& c_{22}+a_{23}{c}_{32}& c_{23}+a_{23}{c}_{33}\\ c_{31}& c_{32}& c_{33}\end{array}\right]\\ c_{31}=c_{32}=0\\ c_{33}=1\\ c_{21}=0\\ c_{22}=1\\ c_{23}=-a_{23}\\ c_{11}=1\\ c_{12}+a_{12}=0\\ c_{12}=-a_{12}\\ c_{13}+a_{12}\left(-a_{23}\right)+a_{13}=0\\ c_{13}=a_{12}{a}_{23}-a_{13}\end{array}$

       よって、

       $\left[\begin{array}{ccc}1& a_{12}& a_{13}\\ 0& 1& a_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

       の逆元は、

       $\left[\begin{array}{ccc}1& -a_{12}& a_{12}{a}_{23}\\ 0& 1& -a_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

       で、 この行列式の値は1で0ではなく可逆行列なので

       $G_1$

       は逆元を含む。

       よって、 部分群である。

       各三角行列 T にての対角要素からなる対角行列を対応させる準同形を

       $f\left(\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ 0& a_{12}& a_{23}\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right]\right)=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& 0& 0\\ 0& a_{22}& 0\\ 0& 0& a_{33}\end{array}\right]$

       とおく。

       この核は、

       $\left[\begin{array}{ccc}1& a_{12}& a_{13}\\ 0& 1& a_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

       と表される行列。

       よって、

       $G_1$

       は準同形 f の核である。

       （証明終）

    2. 
       
       $\begin{array}{l}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& a_{13}\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& b_{13}\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}1& 0& b_{13}+a_{13}\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

       よって、 積について 閉じている。

       $\begin{array}{l}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& a_{13}\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}& b_{12}& b_{13}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{ccc}{b}_{11}+a_{13}{b}_{31}& b_{12}+a_{13}{b}_{32}& b_{13}+a_{13}{b}_{33}\\ b_{21}& b_{22}& b_{23}\\ b_{31}& b_{32}& b_{33}\end{array}\right]\\ b_{21}=b_{23}=b_{31}=b_{32}=0\\ b_{22}=b_{33}=1\\ b_{11}=1\\ b_{12}=0\\ b_{13}=-a_{13}\end{array}$

       よって、

       $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& a_{13}\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$

       の逆元は、

       $\left[\begin{array}{ccc}1& 0& -a_{13}\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\in G_1$

       よって、

       $G_2$

       は

       $G_1$

       の部分群である。

       （証明終）

    3. 
       
       $\begin{array}{l}f:G_1\to K\times K\\ f\left(\left[\begin{array}{ccc}1& a_{12}& a_{13}\\ 0& 1& a_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\right)=\left(a_{12},a_{23}\right)\end{array}$

       とおく。

       $\begin{array}{l}f\left(\left[\begin{array}{ccc}1& a_{12}& a_{13}\\ 0& 1& a_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& b_{12}& b_{13}\\ 0& 1& b_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\right)\\ =f\left(\left[\begin{array}{ccc}1& b_{12}+a_{12}& b_{13}+a_{12}{b}_{23}+a_{13}\\ 0& 1& b_{23}+a_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\right)\\ =\left(b_{12}+a_{12},b_{23}+a_{23}\right)\\ =\left(a_{12},a_{23}\right)+\left(b_{12,}{b}_{23}\right)\\ =f\left(\left[\begin{array}{ccc}1& a_{12}& a_{13}\\ 0& 1& a_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\right)+f\left(\left[\begin{array}{ccc}1& b_{12}& b_{13}\\ 0& 1& b_{23}\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\right)\end{array}$

       よって、準同形である。

       （証明終）

       核は、

       $\begin{array}{l}\left[\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right],a\in K\\ \left(G_2\right)\end{array}$
    4. 
       
       $\begin{array}{l}f:G_2\to K\\ f\left(\left[\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\right)=a\\ g:K\to G_2\\ g\left(a\right)=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\end{array}$

       とおけば、 f、 g は準同形で、 合成写像

       $\begin{array}{l}f\circ g\\ g\circ f\end{array}$

       は恒等写像なので、2つの群

       $G_2,K$

       は同形である。

       （証明終）