数学 - Python - 急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数 - 対数関数の性質 - いくつかの例題および問題の補充 - 不等式、式の変形

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新装版数学読本2 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数)、7.3(対数関数の性質)、いくつかの例題および問題の補充の問38の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} (\log_{a} \frac{x}{y} \log_{a} \frac{x}{z}) - (\log_{a} \sqrt{\frac{y}{z}} \cdot \log_{a} \sqrt{\frac{z}{y}}) \\ = (\log_{a} x - \log_{a} y) (\log_{a} x - \log_{a} z) \\ - \frac{1}{4} (\log_{a} y - \log_{a} z) (\log_{a} z - \log_{a} y) \\ = {(\log_{a} x)}^{2} - (\log_{a} y + \log_{a} z) (\log_{a} x) + \frac{1}{4} {(\log_{a} y - \log_{a} x)}^{2} \\ = {(\log_{a} x - \frac{1}{2} (\log_{a} y + \log_{a} z))}^{2} \\ \geq 0 \end{array}$
よって、問題の不等式は成り立つ。
等号が成り立つのは、
$\begin{array}{l} \log_{a} x = \frac{1}{2} (\log_{a} y + \log_{a} z) \\ \log_{a} x = \log_{a} \sqrt{y z} \\ x = \sqrt{y z} \end{array}$
の場合。
（証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, log, Rational, sqrt, solve
from sympy.plotting import plot3d

print('38.')

x, y, z = symbols('x, y, z', positive=True)
for a in [Rational(1, 2), 2]:
    l = log(x / y, a) * log(x / z, a)
    r = log(sqrt(y / z), a) * log(sqrt(z / y, x,), a)
    for o in [(l - r).subs({x: 4, y: 2, z: 3}) >= 0, solve(l - r)]:
        pprint(o)
        print()


p = plot3d(l.subs({z: 2}), r.subs({z: 2}),
           (x, 0.1, 10), (y, 0.1, 10), show=False)

p.show()
p.save('sample38.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample38.py
38.
True

[{x: √y⋅√z}]

True

[{x: √y⋅√z}]

%

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2019年10月12日土曜日

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