数学 - Python - 急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数 - 対数関数の性質 - いくつかの例題および問題の補充 - 不等式、等号、相加平均、相乗平均

新装版 数学読本2
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(急速・緩慢に変化する関係 - 指数関数・対数関数)、7.3(対数関数の性質)、いくつかの例題および問題の補充の問37の解答を求めてみる。

37. 
    
    $\begin{array}{l}\frac{x+y}{2}\\ =\frac{x{\log }_{2}2+y{\log }_{2}2}{2}\\ =\frac{{\log }_2{2}^x+{\log }_2{2}^y}{2}\\ =\frac{{\log }_2\left(2^x·2^y\right)}{2}\\ ={\log }_2\sqrt{2^x·2^y}\end{array}$

    相加平均 と相乗平均の大小より、

    $\frac{2^x+2^y}{2}\ge \sqrt{2^x+2^y}$

    等号が成り立つのは、

    $\begin{array}{l}{2}^x=2^y\\ x=y\end{array}$

    のとき。

    よって、

    $\log \frac{2^x+2^y}{2}\ge \frac{x+y}{2}$

    が成り立ち、 等号 が成り立つのは

    $x=y$

    の場合。

    （証明終）

コード

Python 3

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, log
from sympy.plotting import plot3d

print('37.')

x, y = symbols('x, y')
f = log((2 ** x + 2 ** y) / 2, 2)
g = (x + y) / 2

p = plot3d(f, g, xlabel=x, ylabel=y, show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for s, color in zip(p, colors):
    s.line_color = color

p.show()
p.save(f'sample37.png')

入出力結果(Bash、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

$ ./sample37.py
37.
$