数学 - 線形代数学 - 群 - 群の簡単な性質 - 置換、逆元、積、生成された群、対称群

ラング線形代数学(下)
原著
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ラング線形代数学(下) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の14章(群)、1(群の簡単な性質)、練習問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $\begin{array}{l}a=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]\\ b=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right]\end{array}$

   とおく。

   $\begin{array}{l}{a}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right]\\ b^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right]=b\\ a{a}^{-1}=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right]=e\\ ba=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right]\\ ab=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right]\end{array}$

   よって、問題の2つの 置換は対称群

   $S_3$

   を生成する。