数学 - Python - 解析学 - “ε-δ”その他 - 複素数 - 極形式 - 平方、等式、実部、虚部

解析入門 原書第3版
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、第16章(複素数)、2(極形式)の練習問題6を求めてみる。

6. 
   
   $\begin{array}{l}{\left(x+iy\right)}^2\\ =\left(x^2-y^2\right)+2xyi\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=a\\ 2xy=b\end{array}\\ y^2=x^2-a\\ 4x^2{y}^2=b^2\\ 4x^2\left(x^2-a\right)=b^2\\ 4x^4-4a{x}^2-b^2=0\\ x^2=\frac{2a\pm \sqrt{4a^2+4b^2}}{4}\\ =\frac{2a\pm 2\sqrt{a^2+b^2}}{4}\\ =\frac{a\pm \sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ y^2=x^2-a\\ x^2-a\ge 0\\ x^2=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ x=\pm \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\ y^2=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}-a\\ =\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}\\ y=\pm \sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\ 2xy=b\\ b<0\Rightarrow xy<0\\ b\ge 0\Rightarrow xy\ge 0\end{array}$

   よって、 実数 x、 y を a、 b で表わすと、

   $\begin{array}{l}x=\pm \sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\ b<0\\ y=\mp \sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\ b\ge 0\\ y=\pm \sqrt{\frac{-a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\end{array}$

   （複号同順）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, I, solve

print('6.')

x, y, a, b = symbols('x, y, a, b', real=True)
eq = (x + I * y) ** 2 - (a + b * I)

for d in solve(eq, x, y, dict=True):
    for k, v in d.items():
        print(f'{k} = ')
        pprint(v.simplify())
        print()
    print('-' * 80)

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py
6.
x = 
       ___________________                    
      ╱         _________  ⎛        _________⎞
     ╱         ╱  2    2   ⎜       ╱  2    2 ⎟
√2⋅╲╱   -a - ╲╱  a  + b   ⋅⎝-a + ╲╱  a  + b  ⎠
──────────────────────────────────────────────
                     2⋅b                      

y = 
     _______________________ 
    ╱             _________  
   ╱             ╱  2    2   
-╲╱   -2⋅a - 2⋅╲╱  a  + b    
─────────────────────────────
              2              

--------------------------------------------------------------------------------
x = 
       ___________________                   
      ╱         _________  ⎛       _________⎞
     ╱         ╱  2    2   ⎜      ╱  2    2 ⎟
√2⋅╲╱   -a - ╲╱  a  + b   ⋅⎝a - ╲╱  a  + b  ⎠
─────────────────────────────────────────────
                     2⋅b                     

y = 
    _______________________
   ╱             _________ 
  ╱             ╱  2    2  
╲╱   -2⋅a - 2⋅╲╱  a  + b   
───────────────────────────
             2             

--------------------------------------------------------------------------------
x = 
        ___________________                    
       ╱         _________  ⎛       _________⎞ 
      ╱         ╱  2    2   ⎜      ╱  2    2 ⎟ 
-√2⋅╲╱   -a + ╲╱  a  + b   ⋅⎝a + ╲╱  a  + b  ⎠ 
───────────────────────────────────────────────
                      2⋅b                      

y = 
     _______________________ 
    ╱             _________  
   ╱             ╱  2    2   
-╲╱   -2⋅a + 2⋅╲╱  a  + b    
─────────────────────────────
              2              

--------------------------------------------------------------------------------
x = 
       ___________________                   
      ╱         _________  ⎛       _________⎞
     ╱         ╱  2    2   ⎜      ╱  2    2 ⎟
√2⋅╲╱   -a + ╲╱  a  + b   ⋅⎝a + ╲╱  a  + b  ⎠
─────────────────────────────────────────────
                     2⋅b                     

y = 
    _______________________
   ╱             _________ 
  ╱             ╱  2    2  
╲╱   -2⋅a + 2⋅╲╱  a  + b   
───────────────────────────
             2             

--------------------------------------------------------------------------------
%