数学 - 解析学 - “ε-δ”その他 - εとδ - 極限 - 有界関数、積の極限

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、付録1(εとδ)、2(極限)の練習問題1を求めてみる。

1. 
   

   任意の正の実数

   $\epsilon >0$

   をとる。 x を S 上の任意の数とする。

   g は有界関数なので、ある正の実数

   $\begin{array}{l}{\delta }_1>0\\ a>0\end{array}$

   が存在して、

   $\left|x-x_0\right|<{\delta }_1\Rightarrow \left|g\left(x\right)\right|<a$

   また、 問題の傱よりある正の実数

   ${\delta }_2>0$

   が存在して、

   $\left|x-x_0\right|<{\delta }_2\Rightarrow \left|f\left(x\right)\right|<\frac{\epsilon }{a}$

   よって、

   $\delta =\min \left\{{\delta }_1,{\delta }_2\right\}$

   とおけば、

   $\begin{array}{l}\left|x-x_0\right|<\delta \\ \Rightarrow \left|f\left(x\right)g\left(x\right)\right|=\left|f\left(x\right)\right|\left|g\left(x\right)\right|<\frac{\epsilon }{a}·a=\epsilon \end{array}$

   ゆえに、

   $\underset{x\to x_0}{\lim }\left|f\left(x\right)g\left(x\right)\right|=0$