数学 - 解析学 - 積分法 - 積分の性質 - 積分可能関数、原始関数、連続関数、中間値の定理、分割、リーマン和、極限、微分積分方の基本定理、基本公式

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.2(積分の性質)、問題5の解答を求めてみる。

5. 
   

   閉区間

   $\left[a,b\right]$

   の任意の分割

   $P=\left(x_0,\dots ,x_n\right)$

   に対して、

   $\begin{array}{l}F\left(b\right)-F\left(a\right)\\ =F\left(x_n\right)-F\left(x_0\right)\\ =\sum _{i=1}^n\left(F\left(x_i\right)-F\left(x_{i-1}\right)\right)\end{array}$

   F は微分可能なので連続関数である。
   よって、各 i に対して、平均値の定理により、

   $\begin{array}{l}F\left(x_i\right)-F\left(x_{i-1}\right)=f\left(c_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)\\ x_{i-1}<c_i<x_i\end{array}$

   を満たす

   $\begin{array}{l}{c}_i\\ \left(i=1,\dots ,n\right)\end{array}$

   が存在する。

   ゆえに

   $\begin{array}{l}F\left(b\right)-F\left(a\right)\\ =\sum _{i=1}^{n}f\left(c_i\right)\left(x_i-x_{i-1}\right)\end{array}$

   これはリーマン和であり、 f は問題の開区間で線分も能なので、

   $\begin{array}{l}\underset{d\left(P\right)\to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f\left(c_i\right)\left(x_i-x_i-1\right)\\ =\underset{d\left(P\right)\to 0}{\lim }S\left(P,f\right)\\ ={\int }_a^{b}f\end{array}$

   よって、

   ${\int }_a^{b}f=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

   が成り立つ。

   （証明終）