数学 - 解析学 - “ε-δ”その他 - 複素数 - 極形式 - 極形式を通常の形に変換

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、第16章(複素数)、2(極形式)の練習問題2を求めてみる。

2. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}{e}^{3i\pi }\\ =\cos \left(3\pi \right)+i\sin \left(3\pi \right)\\ =-1\end{array}$
   2. 
      
      $\begin{array}{l}{e}^{\frac{2i\pi }{3}}\\ =\cos \left(\frac{2}{3}\pi \right)+i\sin \left(\frac{2}{3}\pi \right)\\ =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}3e^{\frac{i\pi }{4}}\\ =3\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)\\ =3\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)\\ =\frac{3}{\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{3}}i\end{array}$
   4. 
      
      $\begin{array}{l}\pi e^{\frac{-i\pi }{3}}\\ =\pi \left(\cos \left(-\frac{\pi }{3}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)\right)\\ =\pi \left(\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)\\ =\frac{\pi }{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\pi i\end{array}$
   5. 
      
      $\begin{array}{l}{e}^{\frac{2\pi }{6}i}\\ =\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\\ =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\end{array}$
   6. 
      
      $\begin{array}{l}{e}^{-\frac{i\pi }{2}}\\ =\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)+i\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)\\ =-i\end{array}$
   7. 
      
      $\begin{array}{l}{e}^{-i\pi }\\ =\cos \left(-\pi \right)+i\sin \left(-\pi \right)\\ =-1\end{array}$
   8. 
      
      $\begin{array}{l}{e}^{-\frac{5i\pi }{4}}\\ =\cos \left(-\frac{5}{4}\pi \right)+i\sin \left(-\frac{5}{4}\pi \right)\\ =-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\end{array}$