数学 - Python - 解析学 - 積分法 - 不定積分、広義積分 - 逆三角関数(逆正弦関数、逆正接関数)

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.3(不定積分、広義積分)、問題1の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} \int_{0}^{a} \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \\ = \lim_{b \to a -} \int_{0}^{b} \frac{dx}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} \\ = \lim_{b \to a -} {[\arcsin (\frac{x}{a})]}_{0}^{b} \\ = \lim_{b \to a -} (\arcsin \frac{b}{a} - \arcsin 0) \\ = \arcsin 1 \\ = \frac{π}{2} \end{array}$
2. $\begin{array}{l} \int_{- \infty}^{+ \infty} \frac{dx}{a^{2} + x^{2}} \\ = 2 \int_{0}^{+ \infty} \frac{dx}{a^{2} + x^{2}} \\ = 2 \lim_{b \to + \infty} \int_{0}^{b} \frac{dx}{a^{2} + x^{2}} \\ = \frac{2}{a} \lim_{b \to + \infty} {[\arctan x]}_{0}^{b} \\ = \frac{2}{a} \lim_{b \to + \infty} (\arctan b - \arctan 0) \\ = \frac{2}{a} \cdot \frac{π}{2} \\ = \frac{π}{a} \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, pi, oo, sqrt, plot print('1.') x = symbols('x', real=True) a = symbols('x', positive=True) class MyTestCase(TestCase): def test_arcsin(self): self.assertEqual( Integral(1 / sqrt(a ** 2 - x ** 2), (x, 0, a)).doit(), pi / 2) def test_arctan(self): self.assertEqual(Integral(1 / (a ** 2 + x ** 2), (x, -oo, oo)).doit(), pi / a) p = plot((1 / sqrt(1 - x ** 2), (x, -0.9, 0.9)), (1 / 1 + x ** 2, (x, -2, 2)), ylim=(0, 4), show=False, legend=True) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample1.png') if __name__ == '__main__': main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample1.py -v 1. test_arcsin (__main__.MyTestCase) ... ok test_arctan (__main__.MyTestCase) ... ok ---------------------------------------------------------------------- Ran 2 tests in 0.335s OK %

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2019年11月30日土曜日

数学 - Python - 解析学 - 積分法 - 不定積分、広義積分 - 逆三角関数(逆正弦関数、逆正接関数)

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