数学 - Python - 解析学 - “ε-δ”その他 - 複素数 - 極形式 - 累乗根、個数

解析入門 原書第3版
原著
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、第16章(複素数)、2(極形式)の練習問題4を求めてみる。

4. 
   
   $\alpha =r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)$

   とおく。

   $\begin{array}{l}{\alpha }^{\frac{1}{n}}\\ ={\left(r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\right)}^{\frac{1}{n}}\\ ={\left(r\left(\cos \left(\theta +2k\pi \right)+i\sin \left(\theta +2k\pi \right)\right)\right)}^{\frac{1}{n}}\\ =\sqrt[n]{r}\left(\cos \left(\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n}\right)+i\sin \left(\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n}\right)\right)\\ \left(k=0,\dots ,n-1\right)\end{array}$

   また、 k の値について、

   $\begin{array}{l}i\ne j\\ \frac{2i\pi }{n}-\frac{2j\pi }{n}\\ =2\pi \left(\frac{i-j}{n}\right)\\ \ne 2\pi l\\ \left(l\in \text{ℕ}\right)\end{array}$

   よって、 n 個の異なる複素数があり、極形式は上記のように表される。

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, exp, sqrt, I, sin, cos, root, pi

print('4.')

r, theta = symbols('r, θ', real=True)
a = r * exp(I * theta)
b = r * (cos(theta) + I * sin(theta))
n = symbols('n', integer=True, nonnegative=True)
for z in [a, b]:
    pprint((z ** (1 / n)).expand())
    print()

n = 5
zs = [root(r, n) * (cos(theta / n + 2 * k * pi / n) + I *
                    sin(theta / n + 2 * k * pi / n)) for k in range(n + 1)]
for z in zs:
    for o in [z, z ** n]:
        pprint(o)
        print()

zs = [root(r, n) * exp(I * (theta / n + 2 * k * pi / n)) for k in range(n + 1)]
for z in zs:
    for o in [z, z ** n]:
        pprint(o)
        print()
    print((z ** n).expand() == a)
    print()

for z1 in zs:
    for z2 in zs:
        pprint(z1 == z2)

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample4.py 
4.
   ________
n ╱    ⅈ⋅θ 
╲╱  r⋅ℯ    

n _______________________
╲╱ ⅈ⋅r⋅sin(θ) + r⋅cos(θ) 

5 ___ ⎛     ⎛θ⎞      ⎛θ⎞⎞
╲╱ r ⋅⎜ⅈ⋅sin⎜─⎟ + cos⎜─⎟⎟
      ⎝     ⎝5⎠      ⎝5⎠⎠

                     5
  ⎛     ⎛θ⎞      ⎛θ⎞⎞ 
r⋅⎜ⅈ⋅sin⎜─⎟ + cos⎜─⎟⎟ 
  ⎝     ⎝5⎠      ⎝5⎠⎠ 

5 ___ ⎛     ⎛θ   2⋅π⎞      ⎛θ   2⋅π⎞⎞
╲╱ r ⋅⎜ⅈ⋅sin⎜─ + ───⎟ + cos⎜─ + ───⎟⎟
      ⎝     ⎝5    5 ⎠      ⎝5    5 ⎠⎠

                                 5
  ⎛     ⎛θ   2⋅π⎞      ⎛θ   2⋅π⎞⎞ 
r⋅⎜ⅈ⋅sin⎜─ + ───⎟ + cos⎜─ + ───⎟⎟ 
  ⎝     ⎝5    5 ⎠      ⎝5    5 ⎠⎠ 

5 ___ ⎛     ⎛θ   3⋅π⎞        ⎛θ   3⋅π⎞⎞
╲╱ r ⋅⎜- sin⎜─ + ───⎟ + ⅈ⋅cos⎜─ + ───⎟⎟
      ⎝     ⎝5    10⎠        ⎝5    10⎠⎠

                                   5
  ⎛     ⎛θ   3⋅π⎞        ⎛θ   3⋅π⎞⎞ 
r⋅⎜- sin⎜─ + ───⎟ + ⅈ⋅cos⎜─ + ───⎟⎟ 
  ⎝     ⎝5    10⎠        ⎝5    10⎠⎠ 

5 ___ ⎛       ⎛θ   π⎞      ⎛θ   π⎞⎞
╲╱ r ⋅⎜- ⅈ⋅sin⎜─ + ─⎟ - cos⎜─ + ─⎟⎟
      ⎝       ⎝5   5⎠      ⎝5   5⎠⎠

                               5
  ⎛       ⎛θ   π⎞      ⎛θ   π⎞⎞ 
r⋅⎜- ⅈ⋅sin⎜─ + ─⎟ - cos⎜─ + ─⎟⎟ 
  ⎝       ⎝5   5⎠      ⎝5   5⎠⎠ 

5 ___ ⎛   ⎛θ   π ⎞        ⎛θ   π ⎞⎞
╲╱ r ⋅⎜sin⎜─ + ──⎟ - ⅈ⋅cos⎜─ + ──⎟⎟
      ⎝   ⎝5   10⎠        ⎝5   10⎠⎠

                               5
  ⎛   ⎛θ   π ⎞        ⎛θ   π ⎞⎞ 
r⋅⎜sin⎜─ + ──⎟ - ⅈ⋅cos⎜─ + ──⎟⎟ 
  ⎝   ⎝5   10⎠        ⎝5   10⎠⎠ 

5 ___ ⎛     ⎛θ⎞      ⎛θ⎞⎞
╲╱ r ⋅⎜ⅈ⋅sin⎜─⎟ + cos⎜─⎟⎟
      ⎝     ⎝5⎠      ⎝5⎠⎠

                     5
  ⎛     ⎛θ⎞      ⎛θ⎞⎞ 
r⋅⎜ⅈ⋅sin⎜─⎟ + cos⎜─⎟⎟ 
  ⎝     ⎝5⎠      ⎝5⎠⎠ 

       ⅈ⋅θ
       ───
5 ___   5 
╲╱ r ⋅ℯ   

   ⅈ⋅θ
r⋅ℯ   

True

         ⎛θ   2⋅π⎞
       ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
5 ___    ⎝5    5 ⎠
╲╱ r ⋅ℯ           

       ⎛θ   2⋅π⎞
   5⋅ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
       ⎝5    5 ⎠
r⋅ℯ             

True

         ⎛θ   4⋅π⎞
       ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
5 ___    ⎝5    5 ⎠
╲╱ r ⋅ℯ           

       ⎛θ   4⋅π⎞
   5⋅ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
       ⎝5    5 ⎠
r⋅ℯ             

True

         ⎛θ   6⋅π⎞
       ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
5 ___    ⎝5    5 ⎠
╲╱ r ⋅ℯ           

       ⎛θ   6⋅π⎞
   5⋅ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
       ⎝5    5 ⎠
r⋅ℯ             

True

         ⎛θ   8⋅π⎞
       ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
5 ___    ⎝5    5 ⎠
╲╱ r ⋅ℯ           

       ⎛θ   8⋅π⎞
   5⋅ⅈ⋅⎜─ + ───⎟
       ⎝5    5 ⎠
r⋅ℯ             

True

         ⎛θ      ⎞
       ⅈ⋅⎜─ + 2⋅π⎟
5 ___    ⎝5      ⎠
╲╱ r ⋅ℯ           

       ⎛θ      ⎞
   5⋅ⅈ⋅⎜─ + 2⋅π⎟
       ⎝5      ⎠
r⋅ℯ             

True

True
False
False
False
False
False
False
True
False
False
False
False
False
False
True
False
False
False
False
False
False
True
False
False
False
False
False
False
True
False
False
False
False
False
False
True
%