数学 - Python - 解析学 - “ε-δ”その他 - εとδ - 極限 - 極限、場合分け、証明方法

解析入門 原書第3版
原著
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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、付録1(εとδ)、2(極限)の練習問題2を求めてみる。

2. 
   

   任意の正の実数

   $\epsilon >0$

   をとる。

   $x=0$

   の場合、

   $\begin{array}{l}\left|\frac{1}{1+nx}-1\right|\\ =0\\ <\epsilon \end{array}$

   また、

   $x>0,\epsilon <1$

   の場合、

   $\begin{array}{l}\frac{nx}{1+nx}<\epsilon \\ nx<\epsilon +nx\epsilon \\ n<\frac{\epsilon }{x\left(1-\epsilon \right)}\\ \delta =\frac{x\left(1-\epsilon \right)}{\epsilon }\end{array}$

   とおけば、

   $n>\delta$

   ならば、

   $\begin{array}{l}n>\frac{\epsilon }{x\left(1-\epsilon \right)}\\ n<\frac{\epsilon }{x\left(1-\epsilon \right)}\\ nx<\epsilon \left(1+nx\right)\\ \frac{nx}{1+nx}<\epsilon \\ \left|\frac{1}{1+nx}-1\right|<\epsilon \end{array}$

   他の場合も同様にして、

   $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{1+nx}=1$

   が成り立つ。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, oo

print('2.')

n, x = symbols('n, x')
f = 1 / (1 + n * x)


class MyTestCase(TestCase):
    def test_zero(self):
        self.assertEqual(Limit(f.subs({x: 0}), n, oo).doit(), 1)

    def test_nonzero(self):
        y = symbols('y', nonzero=True)
        self.assertEqual(Limit(f.subs({x: y}), n, oo).doit(), 0)


p = plot(*[f.subs({x: x0}) for x0 in [-1, 0, 1]],
         (n, 2, 7),
         show=False,
         legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample2.png')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py -v
2.
test_nonzero (__main__.MyTestCase) ... ok
test_zero (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 2 tests in 0.222s

OK
kamimura@iMac dir2 %