数学 - Python - 解析学 - “ε-δ”その他 - εとδ - 極限 - 累乗、1より大きい場合、1より小さい場合、零と無限大

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解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、付録1(εとδ)、2(極限)の練習問題3を求めてみる。

1. $1 < m \leq b = 1 + c < m + 1$
  
  と満たす正の整数 m が存在する。
  
  また、 N を
  
  $m^{N} > B$
  
  で満たす正の整数とする。
  
  このとき、
  
  $n \geq N$
  
  ならば、
  
  $\begin{array}{l} b^{n} \\ \geq m^{n} \\ \geq m^{N} \\ > B \end{array}$
  
  （証明終）
2. $\begin{array}{l} 0 < x < 1 \\ 1 < \frac{1}{x} \end{array}$
  
  よって、 (a)の結果により、
  
  $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} {(\frac{1}{x})}^{n} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{x^{n}} \\ = \infty \end{array}$
  
  ゆえに、
  
  $\begin{array}{l} 0 < x < 1 \\ \Rightarrow \lim_{n \to \infty} x^{n} = 0 \end{array}$
  
  が成り立つ。
  
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import pprint, symbols, plot, Limit, oo, Rational print('3.') epsilon = Rational(1, 1000000) x = symbols('x') f = (1 + epsilon) ** x g = (1 - epsilon) ** x h = epsilon ** x class MyTestCase(TestCase): def test_a(self): self.assertEqual(Limit(f, x, oo).doit(), oo) def test_b1(self): self.assertEqual(Limit(g, x, oo).doit(), 0) def test_b2(self): self.assertEqual(Limit(h, x, oo).doit(), 0) p = plot(2 ** x, Rational(1, 2) ** x, (x, 1, 6), show=False, legend=True) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample3.png') if __name__ == '__main__': main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample3.py -v 3. test_a (__main__.MyTestCase) ... ok test_b1 (__main__.MyTestCase) ... ok test_b2 (__main__.MyTestCase) ... ok ---------------------------------------------------------------------- Ran 3 tests in 0.495s OK %

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2019年11月26日火曜日

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