数学 - Python - 線形代数学 - R^nにおけるベクトル - スカラー積 - 三角関数(正弦、余弦)、倍角、定積分によるスカラー積の定義、垂直(直交)

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の1章(R^nにおけるベクトル)、3(スカラー積)、練習問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   $\begin{array}{l}n+m\ne 0,n-n\ne 0\\ {\int }_{-1}^1\sin \left(nx\right)\cos \left(mx\right)\mathrm{dx}\\ ={\int }_{-1}^1\frac{\sin \left(nx+mx\right)+\sin \left(nx-mx\right)}{2}\mathrm{dx}\\ ={\int }_{-1}^1\frac{\sin \left(\left(n+m\right)x\right)+\sin \left(\left(n-m\right)x\right)}{2}\mathrm{dx}\\ =\frac{1}{2}{\left[\frac{-\cos \left(\left(n+m\right)x\right)}{n+m}+\frac{-\cos \left(\left(n-m\right)x\right)}{n-m}\right]}_{-1}^1\\ =-\frac{1}{2}\left(\frac{\cos \left(n+m\right)-\cos \left(-\left(n+m\right)\right)}{n+m}+\frac{\cos \left(n-m\right)-\cos \left(-\left(n-m\right)\right)}{n-m}\right)\\ =-\frac{1}{2}\left(\frac{\cos \left(n+n\right)-\cos \left(n+m\right)}{n+m}+\frac{\cos \left(n-m\right)-\cos \left(n-m\right)}{n-m}\right)\\ =0\end{array}$

   また、

   $n+m=0,n-m\ne 0$

   のとき、

   $\begin{array}{l}{\int }_{-1}^1\sin \left(nx\right)\cos \left(mx\right)\mathrm{dx}\\ =-\frac{1}{2}\frac{\cos \left(n-m\right)-\cos \left(n-m\right)}{n-m}\\ =0\end{array}$

   また、

   $n+m\ne 0,n-m=0$

   のときも同様に0。

   また、

   $n+m=n-m=0$

   の場合 も同様に0。

   よって、 関牧

   $\begin{array}{l}\sin \left(nx\right),\cos \left(mx\right)\\ n,m\in \text{ℤ}\end{array}$

   は問題 のスカラー積に関して互いに直交している。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols, Integral, sin, cos, plot

print('7.')

x = symbols('x')


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        n, m = symbols('n, m', integer=True)
        self.assertEqual(
            Integral(sin(n * x) * cos(m * x), (x, -1, 1)).doit(), 0)


p = plot(sin(x), cos(2 * x), sin(x) * cos(2 * x),
         (x, -2, 2),
         ylim=(-2, 2),
         legend=True,
         show=False)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save(f'sample7')

if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample7.py -v
7.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 1.681s

OK
%