数学 - Python - 線形代数学 - R^nにおけるベクトル - スカラー積 - 連続関数のスカラー積の定積分による定義

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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢正三 (翻訳)、筑摩書房)の1章(R^nにおけるベクトル)、3(スカラー積)、練習問題5の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} ⟨ f, g ⟩ \\ = \int_{- 1}^{1} f (x) g (x) dx \\ = \int_{- 1}^{1} g (x) f (x) dx \\ = ⟨ g, f ⟩ \end{array}$
2. $\begin{array}{l} ⟨ f, g + h ⟩ \\ = \int_{- 1}^{1} f (x) (g + h) (x) dx \\ = \int_{- 1}^{1} f (x) (g (x) + h (x)) dx \\ = \int_{- 1}^{1} (f (x) g (x) + f (x) h (x)) dx \\ = \int_{- 1}^{1} f (x) g (x) dx + \int_{- 1}^{1} f (x) h (x) dx \\ = ⟨ f, g ⟩ + ⟨ f, h ⟩ \end{array}$
3. $\begin{array}{l} ⟨ c f, g ⟩ \\ = \int_{- 1}^{1} c f (x) g (x) dx \\ = c \int_{- 1}^{1} f (x) g (x) dx \\ = c ⟨ f, g ⟩ \end{array}$
  
  ことから
  
  $\begin{array}{l} ⟨ f, f ⟩ \\ = \int_{- 1}^{1} f (x) f (x) dx \\ = \int_{- 1}^{1} 0 dx \\ = 0 \\ ⟨ f, f ⟩ \\ = \int_{- 1}^{1} {(f (x))}^{2} d x \\ > 0 \end{array}$
  
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import symbols, Integral print('4.') x, c = symbols('x, c') f = x ** 2 g = x ** 3 h = x def dot(f, g): return Integral(f * g, (x, -1, 1)).doit() class MyTestCase(TestCase): def test1(self): self.assertEqual(dot(f, g), dot(g, f)) def test2(self): self.assertEqual(dot(f, g + h), dot(f, g) + dot(f, h)) def test3(self): self.assertEqual(dot(c * f, g), c * dot(f, g)) def test4_1(self): self.assertEqual(dot(0, 0), 0) def test4_2(self): self.assertGreater(dot(f, f), 0) if __name__ == '__main__': main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample5.py -v 5. test1 (__main__.MyTestCase) ... ok test2 (__main__.MyTestCase) ... ok test3 (__main__.MyTestCase) ... ok test4_1 (__main__.MyTestCase) ... ok test4_2 (__main__.MyTestCase) ... ok ---------------------------------------------------------------------- Ran 5 tests in 0.049s OK %

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2019年11月12日火曜日

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