数学 - Python - 線形代数学 - R^nにおけるベクトル - スカラー積 - 垂直(直交)、必要条件

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の1章(R^nにおけるベクトル)、3(スカラー積)、練習問題8の解答を求めてみる。

8. 
   

   任意のベクトル X に対して、

   $A=O$

   ならば、

   $A·X=0$

   なので A と X は垂直である。

   A が任意のベクトル X と垂直で、

   $\begin{array}{l}A\ne O\\ A=\left(1,0,\dots ,0\right)\end{array}$

   と仮定すると、

   $\begin{array}{l}X=\left(1,0,\dots ,0\right)\\ A·X=1\end{array}$

   となり、 ベクトル A とベクトル B が垂直であることと矛盾する。

   よって、

   $A=O$

   である。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import pprint, symbols, Matrix, solve
import random

print('8.')


class MyTestCase(TestCase):
    def test(self):
        a1, a2 = symbols('a1, a2')
        A = Matrix([a1, a2])
        s = solve([A.dot(Matrix([random.randrange(-10, 11), random.randrange(-10, 11)]))
                   for _ in range(10)], a1, a2)
        for ai in s.values():
            self.assertEqual(ai, 0)


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample8.py -v
8.
test (__main__.MyTestCase) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.035s

OK
%