数学 - 解析学 - “ε-δ”その他 - 帰納法 - 積、累乗

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、付録2(帰納法)の練習問題5を求めてみる。

5. 
   
   $\begin{array}{l}\frac{1-x^2}{1-x}\\ =\frac{\left(1-x\right)\left(1+x\right)}{1-x}\\ =1+x\end{array}$

   また、

   $\begin{array}{l}\prod _{k=0}^n\left(1+x^{2^k}\right)\\ =\left(\prod _{k=0}^{n-1}\left(1+x^{2^k}\right)\right)\left(1+x^{2^n}\right)\\ =\frac{1-x^{2^n}}{1-x}·\left(1+x^{2^n}\right)\\ =\frac{1-x^{2^n+2^n}}{1-x}\\ =\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}\end{array}$

   よって帰納法により、 すべての非負の整数 n について

   $\prod _{k=0}^n\left(1+x^{2^k}\right)=\frac{1-x^{2^{n+1}}}{1-x}$

   が成り立つ。

   （証明終）