数学 - 解析学 - 多変数の関数 - ベクトル - スカラー積 - 任意のベクトルと直交するベクトル、零ベクトル

解析入門 原書第3版
原著
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解析入門 原書第3版 (S.ラング(著)、松坂 和夫(翻訳)、片山 孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅵ部(多変数の関数)、第17章(ベクトル)、3(スカラー積)の練習問題5の解答を求めてみる。

5. 
   
   $A\ne O$

   と仮定する。

   ベクトル A は任意のベクトル X と直交するので、ベクトルA 自身とも直交するから

   $\begin{array}{l}A·A=0\\ a_1^2+\dots +a_n^2=0\\ a_i=0\\ \left(i=1,\dots ,n\right)\end{array}$

   が成り立つ。

   これは矛盾。

   よって、 ベクトル A が任意のベクトル X と直交するならば、

   $A=O$

   である。

   （証明終）