数学 - 解析学 - “ε-δ”その他 - 帰納法 - 関数の積の微分、一般化 | Kamimura's blog

2019年12月12日木曜日

数学 - 解析学 - “ε-δ”その他 - 帰納法 - 関数の積の微分、一般化

解析入門原書第3版
原著
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学習環境

解析入門原書第3版 (S.ラング(著)、松坂和夫(翻訳)、片山孝次(翻訳)、岩波書店)の第Ⅴ部(“ε-δ”その他)、付録2(帰納法)の練習問題6を求めてみる。

$\begin{array}{l} \frac{d}{dx} (\prod_{i = 1}^{n} f_{i}) \\ = \frac{d}{dx} (\prod_{i = 1}^{n - 1} f_{i}) f_{n} + (\prod_{i = 1}^{n - 1} f_{i}) \frac{d}{dx} f_{n} \\ = \sum_{i = 1}^{n - 1} (f_{1} \cdot \dots \cdot f_{i - 1} f_{i}' f_{i + 1 i} \cdot \dots \cdot f_{n}) + (\prod_{i = 1}^{n - 1} f_{i}) f_{n}' \\ = \sum_{i = 1}^{n} (f_{1} \cdot \dots \cdot f_{i} \cdot \dots \cdot f_{n}) \end{array}$

よって、帰納法によりすべての正の整数に対して成り立つ。

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