数学 - 円の中にひそむ関数 - 三角関数 - 三角関数と三角形 - 余弦定理 - 正弦定理と余弦定理から三角形のどのような三角形か考える

新装版 数学読本2
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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.3(三角関数と三角形)、余弦定理の問42の解答を求めてみる。

42. 
    
    1. 
       
       $\begin{array}{l}b\cos C-c\cos B=0\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos C\\ b^2=c^2+a^2-2ca\left(\cos B\right)\\ c^2-b^2=b^2-c^2-2a\left(b\cos C-c\cos B\right)\\ c^2-b^2=b^2-c^2\\ b^2=c^2\\ b=c\end{array}$

       よって、 b と c の長 さが等しい二等辺三角形。

    2. 
       
       $\begin{array}{l}a\left(\cos B\right)=b\cos A\\ a\left(\cos C\right)=c\cos A\\ b\cos C=c\cos B\end{array}$

       これと （1）より正三角形。

    3. 
       
       $\begin{array}{l}\frac{a}{\sin A}=2R\\ a=2R\sin A\\ a^2=2Ra\left(\sin A\right)\\ b^2=2Rb\sin B\\ a^2-b^2=2R\left(a\left(\sin A\right)-b\sin B\right)\\ a^2-b^2=0\\ a^2=b^2\\ a=b\end{array}$

       よって、 a と b の長さが等しい二等辺三角形。

    4. 
       
       $\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{a}^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ b^2=c^2+a^2-2ca\left(\cos B\right)\end{array}\\ a^4=a^2{b}^2+a^2{c}^2-2abca\left(\cos A\right)\\ b^4=b^2{c}^2+a^2{b}^2-2abcb\cos B\\ a^4-b^4=a^2{c}^2-b^2{c}^2-2abc\left(a\left(\cos A\right)-b\cos B\right)\\ a^4-b^4=a^2{c}^2-b^2{c}^2\\ \left(a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2\right)=c^2\left(a^2-b^2\right)\\ a^2-b^2=0\\ a=b\\ a^2-b^2\ne 0\\ a^2+b^2=c^2\end{array}$

       よって、 a と b の長さ が等しい二等辺三角形 か角 C が直角の直角三角形。

    5. 
       
       $\begin{array}{l}{b}^2=c^2+a^2-2ca\left(\cos B\right)\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ b^2-a^2=a^2-b^2-2c\left(a\left(\cos B\right)-b\cos A\right)\\ 2b^2=2a^2-2c^2\\ b^2+c^2=a^2\end{array}$

       よって、 角 A が直角な直角三角形。

    6. 
       
       $\begin{array}{l}\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R\\ \sin A=\frac{a}{2R}\\ \sin B=\frac{b}{2R}\\ \sin C=\frac{c}{2R}\\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\\ \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\\ \cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\\ \frac{c}{2R}=\frac{\frac{a}{2R}+\frac{b}{2R}}{\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}}\\ c=\frac{2abc\left(a+b\right)}{a{b}^2+a{c}^2-a^3+b{c}^2+a^{2}b-b^3}\\ ab\left(a+b\right)+c^2\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=2ab\left(a+b\right)\\ ab+c^2-a^2+ab-b^2=2ab\\ a^2+b^2=c^2\end{array}$

       角 C が直角な直角三角形。