数学 - 円の中にひそむ関数 - 三角関数 - 三角関数と三角形 - 正弦定理 - 外接円の半径、鋭角、鈍角、余弦、符号 | Kamimura's blog

2019年12月15日日曜日

数学 - 円の中にひそむ関数 - 三角関数 - 三角関数と三角形 - 正弦定理 - 外接円の半径、鋭角、鈍角、余弦、符号

新装版数学読本2
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新装版数学読本2 (松坂和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.3(三角関数と三角形)、正弦定理の問39の解答を求めてみる。

$\begin{array}{l} {\begin{cases} \frac{a}{\sin A} = 2 R \\ \frac{b}{\sin B} = 2 R \\ \frac{c}{\sin C} = 2 R \end{cases} \\ c = 2 R \sin C \\ \sin C \\ = \sin (π - (A + B)) \\ = - \sin (- (A + B)) \\ = \sin (A + B) \\ = \sin A \cos B + \cos A \sin B \\ \sin A = \frac{a}{2 R} \\ \sin B = \frac{b}{2 R} \end{array}$
また、問題の仮定、
$a < b$
より、
$A < B$
なので A は鋭角である。
$\begin{array}{l} \cos A > 0 \\ \cos A \\ = \sqrt{1 - \sin^{2} A} \\ = \sqrt{1 - {(\frac{a}{2 R})}^{2}} \\ = \frac{\sqrt{4 R^{2} - a^{2}}}{2 R} \end{array}$
B も鋭角の場合、
$\begin{array}{l} \cos B > 0 \\ \cos B \\ = \sqrt{1 - \sin^{2} B} \\ = \sqrt{1 - {(\frac{b}{2 R})}^{2}} \\ = \frac{\sqrt{4 R^{2} - b^{2}}}{2 R} \end{array}$
よって求める c を外接円の半径 R と2辺 a、 bで表した値は、
$\begin{array}{l} c \\ = 2 R (\frac{a}{2 R} \cdot \frac{\sqrt{4 R^{2} - b^{2}}}{2 R} + \frac{\sqrt{4 R^{2} - a^{2}}}{2 R} \cdot \frac{b}{2 R}) \\ = \frac{a \sqrt{4 R^{2} - b^{2}} + b \sqrt{4 R^{2} - a^{2}}}{2 R} \end{array}$
B が鈍角の場合、
$\begin{array}{l} \cos B < 0 \\ \cos B = - \frac{\sqrt{4 R^{2} - b^{2}}}{2 R} \\ c = \frac{a \sqrt{4 R^{2} - b^{2}} - b \sqrt{4 k^{2} - a^{2}}}{2 R} \end{array}$

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