数学 - 円の中にひそむ関数 - 三角関数 - 三角関数と三角形 - 三角形の面積 - ヘロンの公式、四角形の面積

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新装版 数学読本2 (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(円の中にひそむ関数 - 三角関数)、8.3(三角関数と三角形)、三角形の面積の問46の解答を求めてみる。

46. 
    

    線分 BD の長さを余弦定理によって求める。

    $\begin{array}{l}B{D}^2=5^2+3^2-2·5·3·\cos 120^{\circ }\\ =25+9-30\left(-\frac{1}{2}\right)\\ =34+15\\ =49\\ BD=7\end{array}$

    また、 三角形 ABD の面積は、

    $\begin{array}{l}\frac{1}{2}·3·5\sin 120^{\circ }\\ =\frac{1}{2}·3·5\frac{\sqrt{3}}{2}\\ =\frac{15\sqrt{3}}{4}\end{array}$

    三角形 BCD の面積をヘロンの公式によって求める。

    $\begin{array}{l}s=\frac{5+6+7}{2}=9\\ S=\sqrt{9\left(9-5\right)\left(9-6\right)\left(9-7\right)}\\ =\sqrt{3^2·2^2·3·2}\\ =6\sqrt{6}\end{array}$

    よって、 求める四形 ABCD の面積は、

    $\frac{15\sqrt{3}}{4}+6\sqrt{6}$