数学 - 線形代数学 - ベクトル空間 - 定義 - 体、有理数、無理数、和

ラング線形代数学(上)
原著
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   1. 
      

      K の任意の 元 x、 y を

      $\begin{array}{l}x=a+b\sqrt{2}\\ y=c+d\sqrt{2}\\ a,b,c,d\in \text{ℚ}\end{array}$

      とおくと、

      $\begin{array}{l}x+y\\ =\left(a+c\right)+\left(b+d\right)\sqrt{2}\\ a+c,b+d\in Q\\ xy\\ =\left(ac+2bd\right)+\left(ad+bc\right)\sqrt{2}\\ ac+2bd,ad+bc\in \text{ℚ}\end{array}$

      よって、和と積について閉じている。

   2. 
      
      $\begin{array}{l}-x\\ =-a-b\sqrt{2}\\ -a,-b\in \text{ℚ}\\ \left(a+b\sqrt{2}\right)\left(\frac{a}{a^2-2b^2}+\frac{-b}{a^2-2b^2}\sqrt{2}\right)\\ =\frac{a}{a-b\sqrt{2}}-\frac{b}{a-b\sqrt{2}}\sqrt{2}\\ =1\\ \frac{a}{a^2-2b^2},-\frac{b}{b^2-2b^2}\in \text{ℚ}\end{array}$

      よって、 加法、乗法の逆元が存在する。

   3. 
      
      $\begin{array}{l}0=0+0\sqrt{2}\\ 1=1+0\sqrt{2}\\ 0,1\in Q\end{array}$

      よって、 0と1 は K の元である。

      ゆえに、 K は体である。

      （証明終）