2019年12月27日金曜日

学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の2章(ベクトル空間)、2(定義)、練習問題6の解答を求めてみる。


  1. u、 v、 w を L の任意 の元とする。

    また、 a、 b を K の任意の元とする。

    このとき、

    u+v+w=u+v+w

    よって、加法、について分配律が成り立つ。

    0L0+u=u+0=u

    となり、 加法について零ベクトルが存在する。

    -1Ku+-1u=u-u=0

    よって加法について逆元が存在する。

    u+v=v+u

    よって加法について可換律が成り立つ。

    u+vL

    よって加法について閉じている。

    以上、すべて体ということにより。

    同様に、 スカラー倍についても、

    auLau+v=au+ava+bv=av+bvabv=abv1K1·v=v

    よって、 L は K の上のベクトル空間である。

    (証明終)

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