数学 - 線形代数学 - R^nにおけるベクトル - 複素数 - 三角関数(正弦と余弦)、指数関数、オイラーの公式、n乗根の異なる解の個数

ラング線形代数学(上)
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ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の1章(R^nにおけるベクトル)、6(複素数)、練習問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}{e}^{i\left({\theta }_1+{\theta }_2\right)}\\ =\cos \left({\theta }_1+{\theta }_2\right)+i\sin \left({\theta }_1+{\theta }_2\right)\\ =\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2+i\left(\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2+\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2\right)\\ =\left(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1\right)\left(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2\right)\\ =e^{i{\theta }_1}·e^{i{\theta }_2}\\ z=a+bi\\ \left|z\right|=1\\ \sqrt{a^2+b^2}=1\\ z=a+bi\\ =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+i\frac{h}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)\\ \cos t=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin t=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ z=\sqrt{a^2+b^2}\left(\cos t+t\sin t\right)\\ =\cos t+i\sin t\\ =e^{it}\end{array}$

      （証明終）

   2. 
      

      任意の 零ではない複素数 z を

      $\begin{array}{l}z=a+bi\\ a,b\in \text{ℝ}\end{array}$

      とおく。
      このとき、

      $\begin{array}{l}r=\sqrt{a^2+b^2}\\ \cos \theta =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin \theta =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\end{array}$

      とすれば、

      $\begin{array}{l}z\\ =a+bi\\ =\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}i\right)\\ =r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\\ =r{e}^{i\theta }\end{array}$

      また、 零については

      $r=0$

      とおけば、

      $0=0·e^{i\theta }$

      （証明終）

   3. 
      

      a より

      $\begin{array}{l}{z}_1{z}_2\\ =r_1{e}^{i{\theta }_1}{r}_2{e}^{i{\theta }_2}\\ =r_1{r}_2{e}^{i{\theta }_1}·e^{i{\theta }_2}\\ =r_1{r}_2{e}^{i\left({\theta }_1+{\theta }_2\right)}\end{array}$

      （証明終）

   4. 
      

      任意の複素数 z を

      $\begin{array}{l}z=r{e}^{i\theta }\\ =r\left(\sin \theta +i\cos \theta \right)\end{array}$

      とおく。

      このとき、

      $\begin{array}{l}{\left(r^{\frac{1}{n}}{e}^{\frac{i\theta }{n}}\right)}^n\\ ={\left(r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \frac{\theta }{n}+i\sin \frac{\theta }{n}\right)\right)}^n\\ =r\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)\\ =z\end{array}$

      また、 三角関数、正弦と余弦の周期と考えれば、

      $\begin{array}{l}\cos \left(\frac{\theta }{n}+2m\pi \right)=\cos \frac{\theta }{n}\\ \sin \left(\frac{\theta }{n}+2m\pi \right)=\sin \frac{\theta }{n}\end{array}$

      なので、

      $\begin{array}{l}{\left(r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \left(\frac{\theta }{n}+2m\pi \right)+i\sin \left(\frac{\theta }{n}+2n\pi \right)\right)\right)}^n=z\\ r\cos \left(\theta +\frac{2m}{n}\pi \right)+i\sin \left(\theta +\frac{2m}{n}\pi \right)=z\end{array}$

      である。
      よって、

      $\begin{array}{l}r\left(\cos \left(\theta +\frac{2m}{n}\pi \right)+i\sin \left(\theta +\frac{2m}{n}\pi \right)\right)=z\\ m=0,\dots ,n-1\end{array}$

      ゆえに、

      $\begin{array}{l}{\left(r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \left(\frac{1}{n}\left(\theta +\frac{2m}{n}\pi \right)\right)+i\sin \frac{1}{n}\left(\theta +\frac{2m}{n}\pi \right)\right)\right)}^n=z\\ m=0,\dots ,n-1\end{array}$

      なので、

      ${\omega }^n=z$

      と満たす 異なる複素数はちょうと n 個存在する。

      （証明終）