2019年12月21日土曜日

学習環境

ラング線形代数学(上) (ちくま学現文庫)(S.ラング (著)、芹沢 正三 (翻訳)、筑摩書房)の1章(R^nにおけるベクトル)、6(複素数)、練習問題7の解答を求めてみる。



    1. eiθ1+θ2=cosθ1+θ2+isinθ1+θ2=cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2+isinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2=cosθ1+isinθ1cosθ2+isinθ2=eiθ1·eiθ2z=a+biz=1a2+b2=1z=a+bi=a2+b2aa2+b2+iha2+b2cost=aa2+b2sint=ba2+b2z=a2+b2cost+tsint=cost+isint=eit

      (証明終)


    2. 任意の 零ではない複素数 z を

      z=a+bia,b

      とおく。
      このとき、

      r=a2+b2cosθ=aa2+b2sinθ=ba2+b2

      とすれば、

      z=a+bi=a2+b2aa2+b2+ba2+b2i=rcosθ+isinθ=reiθ

      また、 零については

      r=0

      とおけば、

      0=0·eiθ

      (証明終)


    3. a より

      z1z2=r1eiθ1r2eiθ2=r1r2eiθ1·eiθ2=r1r2eiθ1+θ2

      (証明終)


    4. 任意の複素数 z を

      z=reiθ=rsinθ+icosθ

      とおく。

      このとき、

      r1neiθnn=r1ncosθn+isinθnn=rcosθ+isinθ=z

      また、 三角関数、正弦と余弦の周期と考えれば、

      cosθn+2mπ=cosθnsinθn+2mπ=sinθn

      なので、

      r1ncosθn+2mπ+isinθn+2nπn=zrcosθ+2mnπ+isinθ+2mnπ=z

      である。
      よって、

      rcosθ+2mnπ+isinθ+2mnπ=zm=0,,n-1

      ゆえに、

      r1ncos1nθ+2mnπ+isin1nθ+2mnπn=zm=0,,n-1

      なので、

      ωn=z

      と満たす 異なる複素数はちょうと n 個存在する。

      (証明終)

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