数学 - Python - 代数学 - 整式の計算 - 正の奇数の2乗を8で割った余りについて

代数への出発
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代数への出発 (新装版 数学入門シリーズ) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第2章(整式の計算)、練習問題の問7の解答を求めてみる。

7. 
   

   正の奇数を

   $\begin{array}{l}2n-1\\ n\in \text{ℕ}-\left\{0\right\}\end{array}$

   とおく。 この2乗は、

   $\begin{array}{l}{\left(2n+1\right)}^2\\ =4n^2+4n+1\\ =4n\left(n+1\right)+1\end{array}$

   ここで、

   $n\left(n+1\right)$

   は連続する2つの正の整数で、一方は偶数であるから2の倍数である。

   ゆえに、

   $4n\left(n+1\right)$

   は8の倍数なので、 8で割り切れる。

   よって、 正のを数の2乗と8で割れば1余る。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from unittest import TestCase, main
from sympy import symbols

print('7.')


class MyTest(TestCase):
    def test1(self):
        n = symbols('n', integer=True, positive=True)
        a = 2 * n - 1
        for n0 in range(1, 101):
            self.assertEqual(a.subs({n: n0}) ** 2 % 8, 1)


if __name__ == '__main__':
    main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample7.py -v
7.
test1 (__main__.MyTest) ... ok

----------------------------------------------------------------------
Ran 1 test in 0.067s

OK
%