数学 - Python - 解析学 - 積分の計算 - 不定積分の計算 - 置換積分法、三角関数(正弦と余弦と正接)、有理関数の積分、部分分数分解、対数関数

解析入門(上)
楽天ブックス Yahoo!

学習環境

• Surface
• Windows 10 Pro (OS)
• Nebo(Windows アプリ)
• iPad
• MyScript Nebo - MyScript(iPad アプリ(iOS))
• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(積分の計算)、8.1(不定積分の計算)、問題7の解答を求めてみる。

7. 
   
   1. 
      
      $\begin{array}{l}\sin x\\ =\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)\\ =2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\\ =\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{{\sin }^2\frac{x}{2}+{\cos }^2\frac{x}{2}}\\ =\frac{2\frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac{{\sin }^2\frac{x}{2}}{{\cos }^2\frac{x}{2}}+1}\\ =\frac{2t}{1+t^2}\\ \cos x\\ =\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\right)\\ ={\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}\\ =\frac{{\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}}{{\cos }^2\frac{x}{2}+{\sin }^2\frac{x}{2}}\\ =\frac{1-t^2}{1+t^2}\\ \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{{\cos }^2\frac{x}{2}}·\frac{1}{2}\\ =\frac{{\cos }^2\frac{x}{2}+{\sin }^2\frac{x}{2}}{2{\cos }^2\frac{x}{2}}\\ =\frac{1+t^2}{2}\\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dt}}=\frac{2}{1+t^2}\end{array}$

      よって、

      $\begin{array}{l}\int \frac{\mathrm{dx}}{1+\cos x}\\ =\int \frac{1}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}}·\frac{2}{1+t^2}\mathrm{dt}\\ =\int \frac{2}{1+t^2+1-t^2}\mathrm{dt}\\ =\int \mathrm{dt}\\ =t\\ =\tan \frac{x}{2}\end{array}$
   2. 
      

      置換積分と部分分数分解。

      $\begin{array}{l}\int \frac{\mathrm{dx}}{\cos x}\\ =\int \frac{1+t^2}{1-t^2}·\frac{2}{1+t^2}\mathrm{dt}\\ =\int \frac{2}{1-t^2}\mathrm{dx}\\ =2\int \frac{1}{\left(1+t\right)\left(1-t\right)}\mathrm{dt}\\ \frac{A}{1+t}+\frac{B}{1-t}\\ =\frac{\left(B-A\right)t+\left(A+B\right)}{1-t^2}\\ -A+B=0\\ A+B=1\\ B=\frac{1}{2}\\ A=\frac{1}{2}\\ \int \frac{\mathrm{dx}}{\cos x}\\ =\int \frac{\mathrm{dt}}{1+t}+\int \frac{\mathrm{dt}}{1-t}\\ =\log \left|1+t\right|-\log \left|1-t\right|\\ =\log \left|\frac{1+t}{1-t}\right|\\ =\log \left|\frac{1+\tan \frac{x}{2}}{1-\tan \frac{x}{2}}\right|\end{array}$
   3. 
      
      $\begin{array}{l}\int \frac{\sin x}{1+\sin x}\mathrm{dx}\\ =\int \frac{2t}{1+t^2}·\frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2}}·\frac{2}{1+t^2}\mathrm{dt}\\ =\int \frac{4t}{\left(1+t^2\right)\left(t^2+2t+1\right)}\mathrm{dt}\\ =4\int \frac{t}{\left(1+t^2\right){\left(1+t\right)}^2}\mathrm{dt}\\ \frac{At+B}{t^2+1}+\frac{C}{t+1}+\frac{D}{{\left(t+1\right)}^2}\\ \left(At+B\right){\left(t+1\right)}^2+C\left(t^2+1\right)\left(t+1\right)+D\left(t^2+1\right)\\ =\left(At+B\right)\left(t^2+2t+1\right)+C\left(t^3+t^2+t+1\right)+D\left(t^2+1\right)\\ =\left(A+C\right)t^3+\left(2A+B+C+D\right)t^2+\left(A+2B+C\right)t+\left(B+C+D\right)\\ \{\begin{array}{l}A+C=0\\ 2A+B+C+D=0\\ A+2B+C=1\\ B+C+D=0\end{array}\\ C=-A\\ 2B=1\\ B=\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}-A+D=0\\ D=A-\frac{1}{2}\\ A+\frac{1}{2}+A-\frac{1}{2}=0\\ A=0\\ C=0\\ D=-\frac{1}{2}\\ \int \frac{t}{\left(1+t^2\right){\left(1+t\right)}^2}\mathrm{dt}\\ =\frac{1}{2}\left(\int \frac{\mathrm{dt}}{1+t^2}-\int \frac{\mathrm{dt}}{{\left(1+t\right)}^2}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\arctan t+\frac{1}{1+t}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\arctan \left(\tan \frac{x}{2}\right)+\frac{1}{1+\tan \frac{x}{2}}\right)\\ =\frac{1}{2}\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{1+\tan \frac{x}{2}}\right)\\ \int \frac{\sin x}{1+\sin x}\mathrm{dx}\\ =2\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{1+\tan \frac{x}{2}}\right)\\ =x+\frac{2}{1+\tan \frac{x}{2}}\end{array}$