数学 - Python - 解析学 - 積分の計算 - 不定積分の計算 - 真分数、因数分解、対数関数、有理関数の積分、部分分数分解

解析入門(上)
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学習環境

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• 参考書籍
  • Pythonからはじめる数学入門 (楽天ブックス Yahoo!)
  • JavaScriptリファレンス 第6版 (楽天ブックス Yahoo!)
  • インタラクティブ・データビジュアライゼーション (楽天ブックス Yahoo!)

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第8章(積分の計算)、8.1(不定積分の計算)、問題2の解答を求めてみる。

2. 
   
   $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}=\sum _{k=1}^n\frac{A_k}{x-a_k}$

   とおくと、

   $\begin{array}{l}P\left(x\right)\\ =\sum _{k=1}^n{A}_k\left(x-a_1\right)\dots \left(x-a_{k-1}\right)\left(x-a_{k+1}\right)\dots \left(x-a_n\right)\\ P\left(a_k\right)\\ =A_k\left(a_k-a_1\right)\dots \left(a_k-a_{k-1}\right)\left(a_k-a_{k+1}\right)...\left(a_k-a_n\right)\\ =A_{k}Q\text{'}\left(a_k\right)\\ A_k=\frac{P\left(a_k\right)}{Q\text{'}\left(a_k\right)}={\alpha }_k\end{array}$

   よって、

   $\begin{array}{l}\int \frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}\mathrm{dx}\\ =\int \sum _{k=1}^n\frac{{\alpha }_k}{x-a_k}\mathrm{dx}\\ =\sum _{k=1}^n{\alpha }_k\log {\left|x-a_k\right|}^{{\alpha }_k}\\ =\sum _{k=1}^n\log {\left|x-a_k\right|}^{{\alpha }_k}\\ \equiv \log \left(\prod _{k=\stackrel{-}{1}}^n{\left|x-a_k\right|}^{{\alpha }_k}\right)\\ =\log \left|\prod _{k=1}^n{\left(x-a_k\right)}^{{\alpha }_k}\right|\end{array}$

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, Integral
import random
print('2.')

x = symbols('x')
n = 2
p = sum([symbols(f'b{k}', real=True) * x ** k for k in range(n)])
q = 1
for k in range(n + 1):
    q *= (x - k)

f = p / q
I = Integral(f, x)

for o in [I, I.doit()]:
    pprint(o.simplify())
    print()

入出力結果(Zsh、PowerShell、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample2.py
2.
⌠                     
⎮     b₀ + b₁⋅x       
⎮ ───────────────── dx
⎮ x⋅(x - 2)⋅(x - 1)   
⌡                     

b₀⋅log(x)                          (b₀ + 2⋅b₁)⋅log(x - 2)
───────── - (b₀ + b₁)⋅log(x - 1) + ──────────────────────
    2                                        2           

%