数学 - Python - 解析学 - 積分の計算 - 不定積分の計算 - 置換積分法、三角関数(正弦と余弦、正接)、有理関数の積分、部分分数分解、対数関数

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第8章(積分の計算)、8.1(不定積分の計算)、問題6の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} \int \frac{dx}{a^{2} \cos^{2} x + b^{2} \sin^{2} x} \\ = \int \frac{\frac{1}{\cos^{2} x}}{a^{2} + b^{2} \frac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x}} d x \end{array}$
  
  置換積分法。
  
  $t = \tan x$
  
  とおくと、
  
  $\begin{array}{l} \frac{dt}{dx} = \frac{1}{\cos^{2} x} \\ \int \frac{1}{a^{2} + b^{2} t^{2}} dt \\ = \frac{1}{a^{2}} \int \frac{dt}{1 + {(\frac{b}{a} t)}^{2}} \\ = \frac{1}{a^{2}} \cdot \frac{a}{b} \arctan (\frac{b}{a} t) \\ = \frac{1}{a b} \arctan (\frac{b}{a} \tan x) \end{array}$
2. $\begin{array}{l} \int \frac{dx}{a^{2} \cos^{2} x - b^{2} \sin^{2} x} \\ = \int \frac{dt}{a^{2} - b^{2} t^{2}} \\ = \int \frac{dt}{(a + b t) (a - b t)} \\ \frac{A}{a + b t} + \frac{B}{a - b t} \\ = \frac{(A + B) a + b (B - A) t}{a^{2} - b^{2} t^{2}} \\ A + B = \frac{1}{a} \\ - A + B = 0 \\ 2 B = \frac{1}{a} \\ B = \frac{1}{2 a} \\ A = \frac{1}{2 a} \\ \frac{1}{2 a} \int \frac{dt}{a + b t} dt + \frac{1}{2 a} \int \frac{dt}{a - b t} \\ = \frac{1}{2 a} (\frac{1}{b} \log |a + b t| - \frac{1}{b} \log |a - b t|) \\ = \frac{1}{2 a b} \log |\frac{a + b t}{a - b t}| \\ = \frac{1}{2 a b} \log |\frac{a + b \tan x}{a - b \tan x}| \\ = \frac{1}{2 a b} \log |\frac{a (\cos x) + b \sin x}{a (\cos x) - b \sin x}| \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import pprint, symbols, Derivative, sin, cos, tan, atan, log, plot print('6.') a, b = symbols('a, b', nonzero=True) x = symbols('x') fs = [1 / (a ** 2 * cos(x) ** 2 + b ** 2 * sin(x) ** 2), 1 / (a ** 2 * cos(x) ** 2 - b ** 2 * sin(x) ** 2)] gs = [atan(b * tan(x) / a) / (a * b), log(abs((a * cos(x) + b * sin(x)) / (a * cos(x) - b * sin(x)))) / (2 * a * b)] d = {a: 1, b: 2, x: 1} class MyTestCase(TestCase): def test1(self): self.assertEqual(float(fs[0].subs(d)), float( Derivative(gs[0], x, 1).doit().subs(d))) p = plot(*[f.subs({a: 1, b: 2}) for f in fs + gs], (x, -5, 5), ylim=(-5, 5), legend=True, show=False) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample6.png') if __name__ == '__main__': main()

Kamimura's blog

2019年12月29日日曜日

数学 - Python - 解析学 - 積分の計算 - 不定積分の計算 - 置換積分法、三角関数(正弦と余弦、正接)、有理関数の積分、部分分数分解、対数関数

0 コメント:

コメントを投稿