数学 - Python - 解析学 - 積分法 - 不定積分、広義積分 - 正の値をとる単調減少関数、級数と積分の差の極限の存在

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.3(不定積分、広義積分)、問題6の解答を求めてみる。

6. 
   
   $a_n=\sum _{k=1}^{n}f\left(k\right)-{\int }_1^{n}f\left(x\right)\mathrm{dx}$

   とおくと、

   $\begin{array}{l}{a}_n>0\\ a_{n+1}-a_n\\ =\left(\sum _{k=1}^{n+1}f\left(k\right)-{\int }_1^{n+1}f\left(x\right)\mathrm{dx}\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}f\left(k\right)-{\int }_1^{n}f\left(x\right)\mathrm{dx}\right)\\ =f\left(n+1\right)-{\int }_n^{n+1}f\left(x\right)\mathrm{dx}\\ <0\\ a_{n+1}<a_n\end{array}$

   よって、 この数列は正の値をとる単調減少列である。

   よって、下に 有界な単調減少列なので収束する。

   ゆえに、

   $\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sum _{k=1}^{n}f\left(k+1\right)-{\int }_1^{n}f\left(x\right)\mathrm{dx}\right)=\alpha$

   となる極限が存在する。

   （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, summation, plot, Limit, Integral, oo

print('6.')

n, k = symbols('n, k', integer=True)
x = symbols('x', real=True)
f = 1 / x
an = summation(f.subs({x: k}), (k, 1, n))
g = Integral(f, (x, 1, n))
h = an - Integral(f, (x, 1, n))
l = Limit(h.doit(), n, oo)
for o in [g, g.doit(), h, h.doit(), l, l.doit()]:
    pprint(o)
    print()

p = plot(f, g.doit().subs({n: x}), h.doit().subs({n: x}),
         (x, 1, 6),
         ylim=(0, 5),
         show=False,
         legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample6.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample6.py
6.
n     
⌠     
⎮ 1   
⎮ ─ dx
⎮ x   
⌡     
1     

log(n)

              n     
              ⌠     
              ⎮ 1   
harmonic(n) - ⎮ ─ dx
              ⎮ x   
              ⌡     
              1     

-log(n) + harmonic(n)

lim (-log(n) + harmonic(n))
n─→∞                       

γ

%