数学 - Python - 解析学 - 積分法 - 不定積分、広義積分 - 関数、整式、分数、平方根、連続、近傍、絶対値、有界、絶対収束

解析入門(上)
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解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.3(不定積分、広義積分)、問題10の解答を求めてみる。

10. 
    

    a が整式

    $Q\left(x\right)$

    の単解なので、

    $\begin{array}{l}Q\left(x\right)=\left(x-a\right)Q_0\left(x\right)\\ Q_0\left(a\right)\ne 0\end{array}$

    とおくことができる。

    よって、

    $\begin{array}{l}x>a\\ \sqrt{x-a}\left|f\left(x\right)\right|\\ =\sqrt{x-a}\frac{\left|P\left(x\right)\right|}{\sqrt{Q\left(x\right)}}\\ =\sqrt{x-a}\frac{\left|P\left(x\right)\right|}{\sqrt{\left(x-a\right)Q_0\left(x\right)}}\\ =\frac{\left|P\left(x\right)\right|}{\sqrt{Q_0\left(x\right)}}\end{array}$

    よって、この極限 は

    $\begin{array}{l}\underset{x\to a}{\lim }\sqrt{x-a}\left|f\left(x\right)\right|\\ =\frac{\left|P\left(a\right)\right|}{\sqrt{Q_0\left(a\right)}}\\ 0<\frac{\left|P\left(a\right)\right|}{\sqrt{Q_0\left(a\right)}}<\infty \end{array}$

    ゆえに、ある正の定数 M が存在して、 a の近傍で

    $\sqrt{x-a}\left|f\left(x\right)\right|\le M$

    また、 f は連続なので、 定理5(a)より

    ${\int }_a^{b}f$

    は絶対収束する。

    （証明終）

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Integral, Rational

print('10.')

x = symbols('x')
fs = [1 / x ** Rational(1, a) for a in range(1, 11)]

for f in fs:
    I = Integral(f, (x, 0, 2))
    for o in [I, I.doit()]:
        pprint(o)
        print()


p = plot(*fs,
         (x, 0.1, 5),
         ylim=(0, 5),
         show=False,
         legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample10.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample10.py
10.
2     
⌠     
⎮ 1   
⎮ ─ dx
⎮ x   
⌡     
0     

∞

2      
⌠      
⎮ 1    
⎮ ── dx
⎮ √x   
⌡      
0      

2⋅√2

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 3 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   2/3
3⋅2   
──────
  2   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 4 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   3/4
4⋅2   
──────
  3   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 5 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   4/5
5⋅2   
──────
  4   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 6 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   5/6
6⋅2   
──────
  5   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 7 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   6/7
7⋅2   
──────
  6   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 8 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   7/8
8⋅2   
──────
  7   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 9 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   8/9
9⋅2   
──────
  8   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 10___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

    9/10
10⋅2    
────────
   9    

%