2019年12月13日金曜日

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫 数学入門シリーズ 4) (松坂 和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.3(不定積分、広義積分)、問題10の解答を求めてみる。


  1. a が整式

    Q x

    の単解なので、

    Q x = x - a Q 0 x Q 0 a 0

    とおくことができる。

    よって、

    x > a x - a f x = x - a P x Q x = x - a P x x - a Q 0 x = P x Q 0 x

    よって、この極限 は

    lim x a x - a f x = P a Q 0 a 0 < P a Q 0 a <

    ゆえに、ある正の定数 M が存在して、 a の近傍で

    x - a f x M

    また、 f は連続なので、 定理5(a)より

    a b f

    は絶対収束する。

    (証明終)

コード

#!/usr/bin/env python3
from sympy import pprint, symbols, plot, Integral, Rational

print('10.')

x = symbols('x')
fs = [1 / x ** Rational(1, a) for a in range(1, 11)]

for f in fs:
    I = Integral(f, (x, 0, 2))
    for o in [I, I.doit()]:
        pprint(o)
        print()


p = plot(*fs,
         (x, 0.1, 5),
         ylim=(0, 5),
         show=False,
         legend=True)
colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange',
          'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow']

for o, color in zip(p, colors):
    o.line_color = color

p.show()
p.save('sample10.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

% ./sample10.py
10.
2     
⌠     
⎮ 1   
⎮ ─ dx
⎮ x   
⌡     
0     

∞

2      
⌠      
⎮ 1    
⎮ ── dx
⎮ √x   
⌡      
0      

2⋅√2

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 3 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   2/3
3⋅2   
──────
  2   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 4 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   3/4
4⋅2   
──────
  3   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 5 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   4/5
5⋅2   
──────
  4   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 6 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   5/6
6⋅2   
──────
  5   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 7 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   6/7
7⋅2   
──────
  6   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 8 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   7/8
8⋅2   
──────
  7   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 9 ___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

   8/9
9⋅2   
──────
  8   

2         
⌠         
⎮   1     
⎮ ───── dx
⎮ 10___   
⎮ ╲╱ x    
⌡         
0         

    9/10
10⋅2    
────────
   9    

%

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