数学 - Python - 解析学 - 積分法 - 不定積分、広義積分 - 数列、極限、無限級数

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解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.3(不定積分、広義積分)、問題2の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} α > 0 \\ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} {(\frac{k}{n})}^{α} \\ = \int_{0}^{1} x^{α} dx \\ = {[\frac{1}{α + 1} x^{α + 1}]}_{0}^{1} \\ = \frac{1}{α + 1} \end{array}$
2. $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \sin \frac{k π}{n} \\ = \int_{0}^{1} \sin (x π) dx \\ = {[\frac{1}{π} (- \cos (x π))]}_{0}^{1} \\ = \frac{1}{π} (1 + 1) \\ = \frac{2}{π} \end{array}$
3. $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} \\ = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx \\ = {[\log x]}_{1}^{2} \\ = \log 2 \end{array}$
4. $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n \sqrt{n}} \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{k} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \sqrt{\frac{k}{n}} \\ = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx \\ = {[\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]}_{0}^{1} \\ = \frac{2}{3} \end{array}$
5. $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k n}} \\ = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{k}{n}}} \\ = \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x}} d x \\ = {[2 x^{\frac{1}{2}}]}_{1}^{2} \\ = 2 (\sqrt{2} - 1) \end{array}$

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import pprint, symbols, Integral, Derivative, pi, oo, sqrt, plot, summation, sin, Limit print('2.') x = symbols('x', real=True) alpha = 2 fs = [x ** alpha, sin(x * pi), 1 / x, sqrt(x), 1 / sqrt(x)] p = plot(*fs, (x, 0.1, 5), ylim=(-2.5, 2.5), show=False, legend=True) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample2.png')

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

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2019年12月2日月曜日

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