数学 - Python - 解析学 - 積分法 - 不定積分、広義積分 - 対数関数、幾何学的定義、面積、逆数、不等式、リーマン和の極限、無限級数、数列、単調増加、単調減少、オイラーの定数

学習環境

解析入門(上) (松坂和夫数学入門シリーズ 4) (松坂和夫(著)、岩波書店)の第7章(積分法)、7.3(不定積分、広義積分)、問題4の解答を求めてみる。

1. $\begin{array}{l} \log (n + 1) \\ = \int_{1}^{n + 1} \frac{1}{x} dx \\ < 1 \cdot 1 + 1 \cdot \frac{1}{2} + \dots + 1 \cdot \frac{1}{n} \\ = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \end{array}$
  また、
  $\begin{array}{l} \log n \\ = \int_{1}^{n} \frac{1}{x} dx \\ > 1 \cdot \frac{1}{2} + 1 \cdot \frac{1}{3} + \dots + 1 \cdot \frac{1}{n} \\ = \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k} \\ 1 + \log n > \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \end{array}$
  よって、
  $\log (n + 1) < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} < 1 + \log n$
2. $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \\ \lim_{n \to \infty} \int_{1}^{n} \frac{1}{x} dx \\ = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx \\ \lim_{n \to \infty} \log n \\ = \int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx \end{array}$
  よって、
  $\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}}{\log n} = 1$
3. $\begin{array}{l} a_{n} - b_{n} \\ = a_{n} - (a_{n} - \frac{1}{n}) \\ = \frac{1}{n} \\ > 0 \\ b_{n} < a_{n} \end{array}$
  また、（1）より
  $\begin{array}{l} b_{n} \\ = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \log n - \frac{1}{n} \\ = \sum_{k = 1}^{n - 1} \frac{1}{k} - \log n \\ > 0 \end{array}$
  よって、
  $0 < b_{n} < a_{n}$
  また、
  $\begin{array}{l} a_{n + 1} - a_{n} \\ = (\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{k} - \log (n + 1)) - (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \log n) \\ = \frac{1}{n + 1} - \log (n + 1) + \log n \\ = \frac{1}{n + 1} - \int_{n}^{n + 1} \frac{1}{x} dx \\ < 0 \end{array}$
  よって数列
  ${(a_{n})}_{n \in ℕ - \{0, 1\}}$
  は単調減少である。
  $\begin{array}{l} b_{n + 1} - b_{n} \\ = (a_{n + 1} - \frac{1}{n + 1}) - (a_{n} - \frac{1}{n}) \\ = \frac{1}{n + 1} - \int_{n}^{n + 1} \frac{1}{x} d x - \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n} \\ = \frac{1}{n} - \int_{n}^{n + 1} \frac{1}{x} dx \\ > 0 \end{array}$
  よって、数列
  ${(b_{n})}_{n \in ℕ - \{0, 1\}}$
  は単調増加である。
  また、
  $\begin{array}{l} \lim_{n \to \infty} (b_{n} - a_{n}) \\ = - \frac{1}{n} \\ = 0 \end{array}$
  よって、問題の2つの数列
  $\begin{array}{l} {(a_{n})}_{n \in ℕ \ \{0, 1\}} \\ {(b_{n})}_{n \in ℕ - \{0, 1\}} \end{array}$
  は同じ極限に収束する。
  （証明終）

#!/usr/bin/env python3 from unittest import TestCase, main from sympy import pprint, symbols, summation, log, oo, plot print('4.') n, k = symbols('n, k', integer=True) an = summation(1 / k, (k, 1, n)) - log(n) bn = an - 1 / n class MyTestCase(TestCase): def test(self): self.assertEqual(an.limit(n, oo), bn.limit(n, oo)) p = plot(an, bn, (n, 1, 11), show=False, legend=True) colors = ['red', 'green', 'blue', 'brown', 'orange', 'purple', 'pink', 'gray', 'skyblue', 'yellow'] for o, color in zip(p, colors): o.line_color = color p.show() p.save('sample4.png') if __name__ == '__main__': main()

入出力結果(Zsh、cmd.exe(コマンドプロンプト)、Terminal、Jupyter(IPython))

Kamimura's blog

2019年12月4日水曜日

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